Πώς να επιλέξετε δύο αριθμούς για τους οποίους το άθροισμα των τετραγωνικών ριζών τους είναι ελάχιστο, γνωρίζοντας ότι το προϊόν των δύο αριθμών είναι α;

Απάντηση:

# x = y = sqrt (α) #

Εξήγηση:

= x = y = α => χ * γ - α = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "είναι ελάχιστη" #

# "Θα μπορούσαμε να συνεργαστούμε με τον πολλαπλασιαστή Lagrange L:" #

(x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Απόδοση αποδόσεις:" #

(1) (2) (2)

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-α = 0 #

# => γ = α / χ #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x =

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (α)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x =

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(μετά τον πολλαπλασιασμό με το x"! = "0)

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

(x *) x = (2 * a) = 0 # = sqrt (x)

= 1 / (2 * sqrt (α)) - χ / (2 * α) = 0 #

# => x = sqrt (α) #

# => y = sqrt (α) #

# => L = -α ^ (1/4) / (2 * α) <0 => "MINIMUM" #

# "Τώρα πρέπει ακόμα να ελέγξουμε το x = 0." #

# "Αυτό είναι αδύνατο ως x * y = 0 τότε." #

# "Έτσι έχουμε τη μοναδική λύση" #

# x = y = sqrt (α) #

Απάντηση:

Θα προσπαθήσω να σας οδηγήσω στη μέθοδο λύσης παρακάτω.

Εξήγηση:

Τι ψάχνουμε;

Δύο αριθμοί. Ας τους δώσουμε ονόματα, #Χ# και # y #.

Επαναλάβετε ξανά την ερώτηση.

Θέλουμε το άθροισμα των τετραγωνικών ριζών να είναι ελάχιστο.

Αυτό μας λέει δύο πράγματα

(1) και οι δύο αριθμοί είναι μη αρνητικοί (για να αποφευχθεί η φαντασία)

(2) Μας ενδιαφέρει η αξία του # sqrtx + sqrty #

Επαναλάβετε ξανά την ερώτηση.

Λέμε επίσης ότι το προϊόν του #Χ# και # y # είναι #ένα#.

Ποιος επιλέγει #ένα#?

Σε γενικές γραμμές, αν μια άσκηση λέει κάτι για #ένα# ή #σι# ή #ντο#, τις παίρνουμε ως σταθερές που δίδονται από κάποιον άλλο.

Έτσι μπορεί να μας πει "το προϊόν της #Χ# και # y # είναι #11#'

ή "το προϊόν της #Χ# και # y # είναι #124#'.

Πρέπει να λύσουμε όλα αυτά με τη μία # xy = a # για μερικές σταθερές #ένα#.

Έτσι, θέλουμε να κάνουμε # sqrtx + sqrty # όσο το δυνατόν μικρότερη # xy = a # για μερικές σταθερές #ένα#.

Αυτό μοιάζει με ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης και είναι ένα. Θέλω λοιπόν μια λειτουργία μιας μεταβλητής να ελαχιστοποιηθεί.

# sqrtx + sqrty # έχει δύο μεταβλητές, #Χ# και # y #

# xy = a # έχει επίσης δύο μεταβλητές, #Χ# και # y # (θυμάμαι #ένα# είναι μια σταθερά)

Έτσι # y = a / x #

Τώρα θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Βρείτε το παράγωγο, στη συνέχεια τον κρίσιμο αριθμό (α) και ελέγξτε τους κρίσιμους αριθμούς. Τελειώστε να βρίσκετε # y #.

# f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Κρίσιμος # sqrta #

# f '(x) <0 # Για # x <sqrta # και # f '(x)> 0 # Για #x> sqrta #, Έτσι #f (sqrta) # είναι ένα ελάχιστο.

# x = sqrta # και # y = a / x = sqrta #

Απάντηση:

# 2 ρίζα (4) (α) #

Εξήγηση:

Γνωρίζουμε ότι για # x_i> 0 # έχουμε

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} l frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n}

έπειτα

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # έπειτα

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 ρίζα (4) (x_1x_2) #

αλλά # x_1x_2 = α # έπειτα

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 ρίζα (4) (α) #