Πώς ενσωματώνετε αυτό; dx (x²-x + 1) Είμαι κολλημένος σε αυτό το μέρος (φορτώθηκε η εικόνα)

Απάντηση:

= (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2χ-1) / sqrt3) + c #

Εξήγηση:

Συνεχίζοντας…

Αφήνω # 3/4 u ^ 2 = (χ-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Χρησιμοποιώντας ένα αντισυμβατικό τι πρέπει να δεσμευτεί στη μνήμη …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2χ-1) / sqrt3 #

= (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2χ-1) / sqrt3) + c #

Αυτό είναι ένα δύσκολο μικρό ολοκλήρωμα και η λύση δεν θα εμφανιστεί αρχικά. Δεδομένου ότι αυτό είναι ένα κλάσμα, ίσως να προσπαθήσουμε να εξετάσουμε τη χρήση της τεχνικής των μερικών τεμαχίων, αλλά μια γρήγορη ανάλυση αποκαλύπτει ότι αυτό δεν είναι δυνατό από τότε που # x ^ 2-x + 1 # δεν είναι παράγοντας.

Θα προσπαθήσουμε να βρούμε αυτό το ενιαίο σύνολο σε μια μορφή που μπορούμε πραγματικά να ενσωματώσουμε. Παρατηρήστε την ομοιότητα μεταξύ # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # και # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #. γνωρίζουμε ότι το τελευταίο ολοκληρωμένο αξιολογεί # arctanx + C #. Επομένως, θα προσπαθήσουμε να το πάρουμε # x ^ 2-x + 1 # με τη μορφή # κ (χ-α) ^ 2 + 1 #, και στη συνέχεια εφαρμόστε το # arctanx # κανόνας.

Θα χρειαστεί να ολοκληρώσουμε την πλατεία # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = χ ^ 2-χ + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (χ-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

= (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 +

= = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)

(πολύ βρώμικο, ξέρω)

Τώρα που το έχουμε στη επιθυμητή μορφή μας, μπορούμε να προχωρήσουμε ως εξής:

= int1 / (x ^ 2 -x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2))) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3)) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #