Απάντηση:
# x = pi / 5 #
# x = (3pi) / 5 #
# x = pi #
Εξήγηση:
Εχουμε:
# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #
# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #
# -cos (2x) = cos (3x) #
# 0 = cos (3x) + cos (2x) #
# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #
# 0 = (2cos ^ 2-1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x-1 #
# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #
# 0 = 2cos ^ 3x- cosx-2 (1-cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #
# 0 = 2cos ^ 3x- cosx-2 (cosx-cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x-1 #
# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x-1 #
# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x-3cosx-1 #
Αφήνω #u = cosx #.
# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2-3u-1 #
Το βλέπουμε αυτό #u = -1 # είναι ένας παράγοντας. Χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση παίρνουμε
# 0 = (χ + 1) (4χ ^ 2 - 2χ1) #
Η εξίσωση # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό τύπο.
# x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4)
# x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #
# x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #
# x ~~ 0.809 ή -0.309 #
Από #cosx = u #, παίρνουμε # x = pi / 5, (3pi) / 5 # και #πι#.
Οπου # n # είναι ένας ακέραιος αριθμός.
Το γράφημα του # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # και # y_2 = cos (3x) # επιβεβαιώνει ότι οι λύσεις είναι τα σημεία διασταύρωσης.
Ας ελπίσουμε ότι αυτό βοηθά!
Απάντηση:
# x = (2k + 1) pi #
# x = ((2k - 1) pi) / 5 #
Εξήγηση:
# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #
# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos 3x #
# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos 3x #
# -cos 2x = cos 3x #, ή
#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #
Ο κύκλος μονάδας και η ιδιότητα του cos, δίνουν ->
# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #
ένα. # 3χ = 2χ + π + 2κπι #
# x = (2k + 1) pi #
Εάν k = 0 -> # x = pi #
σι. # 3x = - 2χ - pi + 2kpi #
# 5x = (2k - 1) pi #, # x = ((2k - 1) pi) / 5 #
Αν k = 1 -> # x = pi / 5 #.
Εάν k = 0 -> # x = - pi / 5 #, ή # x = (9pi) / 5 # (συντερικά)
Αν k = 2 -> # x = (3pi) / 5 #
Στο κλειστό διάστημα 0, 2pi, οι απαντήσεις είναι:
# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #
Ελέγξτε με αριθμομηχανή.
# x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 χ = -0,428 # -> cos 3x = - 309.
# sin ^ 4x - cos ^ 4x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. Αποδείχθηκε
# x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 χ = 0,428 # -->
# sin ^ 4x - cos ^ 4x = - 0,309 #
#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #. Αποδείχθηκε
Απάντηση:
# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #
Εξήγηση:
# rrrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #
#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #
# rarr-cos2x = cos3x #
# rarrcos3x + cos2x = 0 #
# rarr2cos ((3χ + 2χ) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #
#rarrcos ((5χ) / 2) * cos (x / 2) = 0 #
Είτε #cos ((5x) / 2) = 0 #
# rarr (5χ) / 2 = (2η + 1) πΙ / 2 #
# rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # nrarrZ #
# rarrcos (x / 2) = 0 #
# rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #
# rarrx = (2n + 1) pi # # nrarr #
Απάντηση:
Η γενική λύση δεν απαιτεί τον τύπο τριπλής γωνίας, και είναι
# x = 180 ^ κύκλος + 360 ^ κύκλος k # ή # x = 36 ^ κύκλος + 72 ^ κύκλος k #
για ακέραιο αριθμό #κ#.
Εξήγηση:
Δεν μου αρέσει να διαβάζω τις απαντήσεις των άλλων ανθρώπων προτού να λύσω μόνος μου μια ερώτηση. Αλλά μια χαρακτηριστική απάντηση για αυτή την έσκασε. Κατά τη διάρκεια της γρήγορης ματιά μου δεν μπορώ να παρατηρήσω ότι φαινόταν πολύ περίπλοκο για αυτό που μοιάζει σαν μια σχετικά εύκολη ερώτηση. Θα σου δώσω ένα πλάνο.
#sin ^ 4x - cos ^ 4x = cos 3x #
# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos 3x #
# -cos 2x = cos 3x #
#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #
Έχω πάει στο Socratic για μερικές εβδομάδες, και αυτό αναδύεται ως το θέμα μου: Η γενική λύση στο #cos x = cos a # είναι # x = a a + 360 ^ cirk quad # για ακέραιο αριθμό #κ.#
# 180 ^ κύκλος - 2x = pm 3x + 360 ^ cirk k #
# -2x μm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #
Παίρνουμε τις πινακίδες ξεχωριστά. Πρώτα:
# x = -180 ^ κύκλος + 360 ^ κύκλος k = 180 ^ κύκλος + 360 ^ κύκλος k #
Μείον επόμενο.
# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #
# x = 36 ^ κύκλος + 72 ^ κύκλος k #
Εάν τα διαβάσετε στενά, ίσως νομίζετε ότι κάνω λάθος με τον τρόπο που χειραγωγώ #κ#. Αλλά από τότε #κ# κυμαίνεται σε όλους τους ακεραίους, υποκαταστάσεις όπως # k σε -k # και # k σε k + 1 # επιτρέπονται και γλιστρίζω αυτούς για να κρατήσω τα σημάδια #+# όταν μπορούν να είναι.
Ελεγχος:
Ας πάρουμε ένα ζευγάρι για να ελέγξουμε. Είμαι αρκετά γερός να το ξέρω #cos 36 ^ circ # είναι το ήμισυ του Golden Ratio, αλλά δεν πρόκειται να τα δουλέψω ακριβώς, απλά να τα βάζω στο Wolfram Alpha για να σιγουρευτώ.
# x = 36 ^ κύκλος + 72 ^ κύκλος = 108 ^ κύκλος #
# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #
# x = 180 - 2 (360) = -540 #
#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #
