Τι σημαίνει το όριο μιας άπειρης αλληλουχίας;

Το όριο μιας άπειρης ακολουθίας μας λέει για τη μακροπρόθεσμη συμπεριφορά του.

Λαμβάνοντας μια ακολουθία πραγματικών αριθμών #ένα#, είναι όριο #lim_ (n σε oo) a_n = lim a_n # ορίζεται ως η μοναδική τιμή που προσεγγίζει η ακολουθία (εάν προσεγγίζει οποιαδήποτε τιμή) καθώς δημιουργούμε τον δείκτη # n # μεγαλύτερος. Το όριο μιας ακολουθίας δεν υπάρχει πάντα. Εάν συμβαίνει, η ακολουθία λέγεται ότι είναι συγκεντρούμενος, διαφορετικά λέγεται ότι είναι αποκλίνων.

Δύο απλά παραδείγματα:

• Εξετάστε την ακολουθία # 1 / n #. Είναι εύκολο να διαπιστώσετε ότι το όριο είναι #0#. Στην πραγματικότητα, δεδομένης οποιασδήποτε θετικής τιμής κοντά στο #0#, μπορούμε να βρούμε πάντα μια πολύ καλή αξία # n # έτσι ώστε # 1 / n # είναι μικρότερη από αυτή τη δεδομένη τιμή, πράγμα που σημαίνει ότι το όριο πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο με το μηδέν. Επίσης, κάθε όρος της ακολουθίας είναι μεγαλύτερος από μηδέν, οπότε το όριο πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το μηδέν. Επομένως, είναι #0#.

• Πάρτε τη σταθερή ακολουθία #1#. Δηλαδή, για οποιαδήποτε δεδομένη τιμή # n #, ο όρος #ένα# της ακολουθίας είναι ίση με #1#. Είναι σαφές ότι δεν έχει σημασία πόσο μεγάλο κάνουμε # n # η αξία της ακολουθίας είναι #1#. Έτσι είναι το όριο #1#.

Για έναν αυστηρότερο ορισμό, άφησε #ένα# είναι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών (δηλαδή, #forall n στο NN: a_n σε RR #) και #epsilon σε RR #. Τότε ο αριθμός #ένα# λέγεται ότι είναι το όριο της ακολουθίας #ένα# αν και μόνο αν:

#forall epsilon> 0 υπάρχει N στο NN: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Αυτός ο ορισμός είναι ισοδύναμος με τον ανεπίσημο ορισμό που δίνεται παραπάνω, εκτός από το ότι δεν χρειάζεται να επιβάλλουμε μοναδικότητα για το όριο (μπορεί να συναχθεί).