Πώς διαιρείτε (i + 8) / (3i -1) σε τριγωνομετρική μορφή;

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Πρώτα από όλα πρέπει να μετατρέψουμε αυτούς τους δύο αριθμούς σε τριγωνομετρικές μορφές.

Αν # (α + ib) # είναι ένας σύνθετος αριθμός, # u # είναι το μέγεθός του και #άλφα# είναι η γωνία του # (α + ib) # σε τριγωνομετρική μορφή γράφεται ως #u (cosalpha + isinalpha) #.

Μέγεθος ενός σύνθετου αριθμού # (α + ib) # δίνεται από#sqrt (α ^ 2 + b ^ 2) # και η γωνία του δίνεται από # tan ^ -1 (β / α) #

Αφήνω # r # είναι το μέγεθος του # (8 + i) # και #θήτα# να είναι η γωνία του.

Μέγεθος του # (8 + i) = sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt65 =

Γωνία του # (8 + i) = Tan ^ 1 (1/8) = theta #

#implies (8 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Αφήνω #μικρό# είναι το μέγεθος του # (- 1 + 3i) # και # phi # να είναι η γωνία του.

Μέγεθος του (1 + 3i) = sqrt ((- 1) ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt10 = s #

Γωνία του # (- 1 + 3i) = Tan ^ -1 (3 / -1) = Tan ^ -1 (-3) = phi #

#implies (-1 + 3i) = s (Cosphi + isinphi) #

Τώρα,

# (8 + i) / (- 1 + 3i) #

# = (r (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

(Κώστας + ισινθήτα) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #

# = r / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icochetheasinphi-2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi)

(coshetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = r / s * (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) / (1)

# = r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

Εδώ έχουμε όλα τα πράγματα παρόντα, αλλά αν εδώ αντικαταστήσει άμεσα τις αξίες η λέξη θα ήταν βρώμικο για να βρούμε #theta -phi # οπότε ας μάθουμε πρώτα # theta-phi #.

# theta-phi = tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) #

Ξέρουμε ότι:

(α-β) / (1 + αβ)) #

#implies tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) = tan ^ -1 ((1/8) - (- 3)) / (1+))) #

# = tan ^ -1 ((1 + 24) / (8-3)) = tan ^ -1 (25/5)

#implies theta -phi = tan ^ -1 (5) #

# r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

= = sqrt65 / sqrt10 (cos (tan ^ -1 (5)) + ισίνη (tan ^ -1 (5)

= = sqrt (65/10) (cos (tan ^ -1 (5)) + ισίνη (tan ^ -1 (5)

= = sqrt (13/2) (cos (tan ^ -1 (5)) + ισίνη (tan ^ -1 (5)

Αυτή είναι η τελική απάντησή σας.

Μπορείτε να το κάνετε και με άλλη μέθοδο.

Αρχικά διαιρώντας τους σύνθετους αριθμούς και στη συνέχεια αλλάζοντας την σε τριγωνομετρική μορφή, η οποία είναι πολύ πιο εύκολη από αυτή.

Πρώτα απ 'όλα, ας απλοποιήσουμε τον συγκεκριμένο αριθμό

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε με το σύζευγμα του σύνθετου αριθμού που υπάρχει στον παρονομαστή δηλαδή # -1-3i #.

(- 1 - 3i) / (- 1 + 3i) = (- 8-24i - i) -3i ^ 2) / ((1) ^ 2- (3i) ^ 2) #

= (- 5-25i + 3) / (1 - (- 9)) = (- 5-25i) / (1 + 9) / 10 = -1 / 2- (5i) / 2 #

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = - 1 / 2- (5i) / 2 #

Αφήνω # t # είναι το μέγεθος του # (1 / 10- (5i) / 2) # και #βήτα# να είναι η γωνία του.

Μέγεθος του (1/4 + 25/4) = sqrt (26/2) (2) 4) = sqrt (13/2) = t #

Γωνία του # (- 1/2 - (5i) / 2) = Tan ^ -1 ((- 5/2) / (- 1/2)) = tan ^

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = sqrt (13/2) (cos (tan ^ -1 (5).