Αξιολογήστε το αόριστο ολοκλήρωμα: sqrt (10x-x ^ 2) dx;

Απάντηση:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Εξήγηση:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Ολοκληρώστε την πλατεία, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Υποκατάστατο # u = χ-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" #

Υποκατάστατο # u = 5sin (v) # και # du = 5cos (ν) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Απλοποιώ, (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Εκκαθαρίζω, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Βγάλτε τη σταθερή, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Εφαρμόστε τους τύπους διπλής γωνίας, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Βγάλτε τη σταθερή, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Ενσωματώνουν, # 25/2 (ν + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Αναπληρωτής πίσω # v = arcsin (u / 5) # και # u = χ-5 #

# 2/2 (arcsin ((x-5) / 5) + ακύρωση (1 / 2sin) (ακυρώστε (2arcsin)

Απλοποιώ, # 25/2 (arcsin ((χ-5) / 5)) + 25/2 ((χ-5) / 5)

Εκκαθαρίζω, # 25 / 2arcsin ((χ-5) / 5) + 5/2 (χ-5) + c #, όπου #ντο# είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης.

Τάδα: Δ

Απάντηση:

= 5 / x (5) x + 5 (x-5) + c #

Εξήγηση:

Τι είναι #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Σημειώστε ότι ο τομέας της ενσωματωμένης συνάρτησης είναι εκεί όπου η εσωτερική τετραγωνική είναι θετική, δηλ. # x στο 0, 10 #

Αυτή η έκφραση μπορεί να ενσωματωθεί με αντικαταστάσεις. Αν και μια πιθανή οδός για την ολοκλήρωση δεν παρουσιάζεται αμέσως, αν ανταγωνιστείμε την πλατεία, τότε μπορεί να γίνει μια τριγωνομετρική υποκατάσταση:

# 10x - χ ^ 2 = 25 - (χ-5) ^ 2 #

Το οποίο παρατηρούμε, είναι στην κλασική μορφή τριγωνομετρικής υποκατάστασης, δηλαδή το τετράγωνο ενός αριθμού μείον το τετράγωνο μιας γραμμικής #Χ# λειτουργία.

Πρώτον, για να απαλλαγούμε από το γραμμικό, αφήσαμε # u = x-5 #, που δίνει # du = dx #, έτσι μπορούμε να ξαναγράψουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα ως εξής:

#int sqrt (25-u ^ 2) #

Τώρα για τη δεύτερη αλλαγή, αφήστε #u = 5sintheta #, το οποίο αλλάζει το ολοκλήρωμα σε:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (μπορούμε να αγνοήσουμε τα παρενθέματα απόλυτης τιμής)

Φυσικά, το # dx # δεν βοηθά, έτσι διαφοροποιούμε την εξίσωση υποκατάστασης για να πάρουμε: #du = 5costheta d theta #, έτσι ώστε το ολοκλήρωμα γίνεται:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν τύπο διπλής γωνίας για την ολοκλήρωση # cos ^ 2 theta # ευκολότερη:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Έτσι το ενιαίο γίνεται:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (χρησιμοποιώντας έναν τύπο διπλής γωνίας)

Τώρα, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Ως εκ τούτου, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

Και, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5)

= 5 / x (5) x + 5 (x-5) + c #