Ποια είναι τα τοπικά άκρα του f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13?

Απάντηση:

Το τοπικό μέγιστο είναι # 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 #

Τοπικό ελάχιστο είναι # 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #

Εξήγηση:

Για να βρούμε τα τοπικά άκρα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την πρώτη δοκιμασία παραγώγων. Γνωρίζουμε ότι σε ένα τοπικό άκρο, τουλάχιστον το πρώτο παράγωγο της συνάρτησης θα είναι μηδέν. Επομένως, ας πάρουμε το πρώτο παράγωγο και να το ορίσουμε ίσο με 0 και να λύσουμε το x.

# f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13 #

# f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

# 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

Αυτή η ισότητα μπορεί εύκολα να λυθεί με την τετραγωνική φόρμουλα. Στην περίπτωσή μας, # a = -3 #, #b = 6 # και # c = 10 #

Ο τετραγωνικός τύπος αναφέρει:

# x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

Εάν συνδέσουμε τις αξίες μας με την τετραγωνική φόρμουλα, παίρνουμε

# x = (-6 + - sqrt (156)) / - 6 = 1 + - sqrt (156) / 6 = 1 + - sqrt

Τώρα που έχουμε τις τιμές x όπου βρίσκονται τα τοπικά άκρα, ας τα συνδέσουμε ξανά στην αρχική μας εξίσωση για να πάρουμε:

# f (1 + sqrt (13/3)) = 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 # και

#f (1 - sqrt (13/3)) = 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #