Πώς βρίσκετε όλες τις λύσεις των 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0;

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # Για

# x σε {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # όπου #n σε ZZ #

Λύσει: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Πρώτον, αντικαταστήστε # cos ^ 2 x # με # (1 - sin ^ 2χ) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

Κλήση # sin x = t #, έχουμε:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση της φόρμας # στο ^ 2 + bt + c = 0 # που μπορεί να λυθεί με συντόμευση:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

ή factoring σε # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

Μια πραγματική ρίζα είναι # t_1 = -1 # και το άλλο είναι # t_2 = 1/2 #.

Στη συνέχεια λύστε τις 2 βασικές λειτουργίες:

# t_1 = αμαρτία x_1 = -1 #

# rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (Για #n σε ZZ #)

και

# t_2 = αμαρτία x_2 = 1/2 #

# rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

ή

# rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

Ελέγξτε με την εξίσωση (1):

#cos (3pi / 2) = 0. αμαρτία (3pi / 2) = -1 #

# x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (σωστός)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; sin (pi / 6) = 1/2 #.

# x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (σωστός)