Ας υποδείξει το RR το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Βρείτε όλες τις λειτουργίες f: RR-> RR, ικανοποιώντας τις abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) για όλες τις x, y ανήκει στο RR.

Απάντηση:

# f (x) = μμ 2 x + C_0 #

Εξήγηση:

Αν #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # έπειτα # f (x) # είναι Lipschitz συνεχής. Έτσι η λειτουργία # f (x) # είναι διαφοροποιήσιμο. Στη συνέχεια, #abs (f (x) -f (y)) / (abs (χ-γ)) = 2 # ή

#abs ((f (x) -f (y)) / (x-y)) = τώρα

(x-y) (f (x) -f (y)) / (xy) = abs ((x))) = abs (f '(γ)) = 2 #

Έτσι

# f (x) = μμ 2 x + C_0 #