Απάντηση:
(X2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
Εξήγηση:
Δεδομένου ότι ο παρονομαστής έχει ήδη ληφθεί υπόψη, το μόνο που πρέπει να κάνουμε μερικά κλάσματα είναι η επίλυση για τις σταθερές:
(X-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / + D / (χ-7) #
Σημειώστε ότι χρειαζόμαστε και ένα #Χ# και ένας σταθερός όρος στο αριστερό περισσότερο κλάσμα, επειδή ο αριθμητής είναι πάντα 1 βαθμός χαμηλότερος από τον παρονομαστή.
Θα μπορούσαμε να πολλαπλασιάσουμε τον παρανομαστή της αριστερής πλευράς, αλλά αυτό θα ήταν ένα τεράστιο έργο, ώστε να μπορούμε να είμαστε έξυπνοι και να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο κάλυψης.
Δεν θα ξεπεράσω λεπτομερώς τη διαδικασία, αλλά ουσιαστικά αυτό που κάνουμε είναι να μάθουμε τι κάνει τον παρονομαστή ίσο με το μηδέν (στην περίπτωση #ΝΤΟ# είναι # x = 3 #) και συνδέοντας την στην αριστερή πλευρά και αξιολογώντας ενώ καλύπτεται ο συντελεστής που αντιστοιχεί στη σταθερά αυτή δίνει:
(3 (3) ^ 2-3) / (3 ^ 2 + 2) (κείμενο (////)) (3-7)) = - 6/11 #
Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο για #ΡΕ#:
# D = (3 (7) ^ 2-7) / (7 ^ 2 + 2) (7-3)
Η μέθοδος κάλυψης λειτουργεί μόνο για γραμμικούς παράγοντες, οπότε αναγκάζουμε να λύσουμε το πρόβλημα #ΕΝΑ# και #ΣΙ# χρησιμοποιώντας την παραδοσιακή μέθοδο και πολλαπλασιάζοντας με τον παρανομαστή της αριστερής πλευράς:
(Χ-7) -6/11 (χ ^ 2 + 2) (χ-7) +35/51 (χ ^ 2 + 2) (x-3) #
Αν πολλαπλασιάσουμε όλη την παρένθεση και εξισώνουμε όλους τους συντελεστές των διαφόρων #Χ# και με σταθερούς όρους, μπορούμε να μάθουμε τις αξίες του #ΕΝΑ# και #ΣΙ#. Είναι ένας μάλλον χρονοβόρος υπολογισμός, οπότε θα αφήσω ένα σύνδεσμο για όποιον ενδιαφέρεται:
Κάντε κλικ ΕΔΩ
# Α = -79 / 561 #
# Β = -94 / 561 #
Αυτό δίνει ότι το σύμπλεγμα μας είναι:
(x) = x (x-7)) - 6 / (11 (x-3)
Τα πρώτα δύο μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας μάλλον απλές u-αντικαταστάσεις των παρονομαστών:
(X2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx # /
Μπορούμε να χωρίσουμε το υπόλοιπο ολοκλήρωμα σε δύο:
(dx + int = 94 / x + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) 2 + 2) dx #
Θα κάνω κλήση του αριστερού ενός Integral 1 και του δεύτερου Integral 2.
Ενσωματωμένο 1
Μπορούμε να λύσουμε αυτό το ενιαίο με μια ου-υποκατάσταση του # u = x ^ 2 + 2 #. Το παράγωγο είναι # 2x #, έτσι χωρίζουμε # 2x # να ενσωματώσει σε σχέση με # u #:
# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int ακύρωση (x) / (2cancel (x) = 79 / 2in | x ^ 2 + 2 | + C #
Ενσωματωμένη 2
Θέλουμε να πάρουμε αυτό το ενιαίο στη φόρμα για # tan ^ -1 #:
#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #
Αν εισάγουμε μια υποκατάσταση με # x = sqrt2u #, θα είμαστε σε θέση να μετατρέψουμε το σύμπλεγμα μας σε αυτή τη μορφή. Να ενσωματωθεί σε σχέση με # u #, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε # sqrt2 # (δεδομένου ότι πήραμε το παράγωγο σε σχέση με # u # αντί #Χ#):
# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / (sqrt2u) ^ 2 + 2) du =
# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1)
# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #
Ολοκλήρωση του αρχικού ολοκληρώματος
Τώρα που γνωρίζουμε τι είναι ίση με το Integral 1 και το Integral 2, μπορούμε να ολοκληρώσουμε το αρχικό ολοκλήρωμα για να πάρουμε την τελική μας απάντηση:
(X2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
