Ποιο είναι το παράγωγο του x ^ (1 / x);

Απάντηση:

# dy / dx = x ^ (1 / x) ((1-lnx) / x ^ 2) #

Εξήγηση:

Σε αυτές τις περιπτώσεις όπου μια λειτουργία αυξάνεται στη δύναμη μιας συνάρτησης, θα χρησιμοποιήσουμε λογαριθμική διαφοροποίηση και έμμεση διαφοροποίηση ως εξής:

# y = x ^ (1 / χ) #

# lny = ln (x ^ (1 / x)) #

Από το γεγονός ότι # n (a ^ b) = blna #:

# lny = lnx / x #

Διαφοροποίηση (η αριστερή πλευρά θα διαφοροποιείται έμμεσα):

# 1 / y * dy / dx = (1-lnx) / χ ^ 2 #

Επίλυση για # dy / dx #:

# dy / dx = y ((1-lnx) / x ^ 2) #

Υπενθυμίζοντας αυτό # y = x ^ (1 / χ) #:

# dy / dx = x ^ (1 / x) ((1-lnx) / x ^ 2) #