Ας πούμε ότι το K και το L είναι δύο διαφορετικοί υποσυνείδητοι πραγματικοί διανυσματικοί χώροι V. Εάν δίδουμε το dim (K) = dim (L) = 4, πώς να καθορίσουμε τις ελάχιστες διαστάσεις είναι δυνατές για V?

Απάντηση:

5

Εξήγηση:

Αφήστε τα τέσσερα διανύσματα # k_1, k_2, k_3 # και # k_4 # αποτελούν τη βάση του διανυσματικού χώρου #Κ#. Από #Κ# είναι υποσυνείδητο # V #, αυτοί οι τέσσερις φορείς σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σετ # V #. Από #ΜΕΓΑΛΟ# είναι υποσυνείδητο # V # διαφορετικός από #Κ#, πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο, ας πούμε # l_1 # σε #ΜΕΓΑΛΟ#, το οποίο δεν βρίσκεται μέσα #Κ#, δηλαδή, που δεν είναι ένας γραμμικός συνδυασμός του # k_1, k_2, k_3 # και # k_4 #.

Έτσι, το σετ # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # είναι ένα γραμμικό ανεξάρτητο σύνολο φορέων στο # V #. Έτσι, η διάσταση του # V # είναι τουλάχιστον 5!

Στην πραγματικότητα, είναι δυνατό για το διάστημα # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # να είναι ολόκληρος ο χώρος διανύσματος # V # - έτσι ώστε ο ελάχιστος αριθμός φορέων βάσης πρέπει να είναι 5.

Ακριβώς ως παράδειγμα, ας # V # είναι # RR ^ 5 # και ας #Κ# και # V # αποτελείται από φορείς των εντύπων

# ((άλφα), (βήτα), (γ), (δέλτα), (0)) # και # ((mu), (nu), (λάμδα), (0), (phi)) #

Είναι εύκολο να δούμε ότι οι φορείς

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#και #((0),(0),(0),(0),(0))#

αποτελούν τη βάση #Κ#. Προσθέστε τον φορέα #((0),(0),(0),(0),(0))#, και θα έχετε τη βάση για ολόκληρο τον χώρο φορέα,