Τι σημαίνει το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής;

Απάντηση:

Αυτό σημαίνει ότι ένα αν μια συνεχής λειτουργία (σε ένα διάστημα #ΕΝΑ#) παίρνει 2 διαφορετικές τιμές #φά)# και #f (b) # (# a, b στο A # φυσικά), τότε θα πάρει όλες τις τιμές μεταξύ #φά)# και #f (b) #.

Εξήγηση:

Προκειμένου να το θυμηθείτε ή να το καταλάβετε καλύτερα, γνωρίζετε ότι το λεξιλόγιο μαθηματικών χρησιμοποιεί πολλές εικόνες.Για παράδειγμα, μπορείτε να φανταστείτε μια αυξανόμενη λειτουργία! Είναι το ίδιο εδώ, με ενδιάμεσο μπορείτε να φανταστείτε κάτι ανάμεσα σε άλλα 2, αν ξέρετε τι εννοώ. Μην διστάσετε να κάνετε ερωτήσεις εάν δεν είναι σαφές!

Απάντηση:

Θα μπορούσατε να πείτε ότι ουσιαστικά λέει ότι οι πραγματικοί αριθμοί δεν έχουν κενά.

Εξήγηση:

Το θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής δηλώνει ότι αν # f (x) # είναι μια λειτουργία πραγματικής αποτίμησης που είναι συνεχής σε ένα διάστημα # α, β # και # y # είναι μια τιμή μεταξύ #φά)# και #f (b) # τότε υπάρχουν μερικοί # x στο a, b # έτσι ώστε # f (x) = y #.

Συγκεκριμένα, το θεώρημα του Bolzano λέει ότι αν # f (x) # είναι μια λειτουργία Real valuation που είναι συνεχής στο διάστημα # α, β # και #φά)# και #f (b) # είναι διαφορετικά σημεία, τότε υπάρχουν μερικά # x στο a, b # έτσι ώστε # f (x) = 0 #.

#άσπρο χρώμα)()#

Εξετάστε τη λειτουργία # f (x) = x ^ 2-2 # και το διάστημα #0, 2#.

Αυτή είναι μια συνάρτηση πραγματικής αποτίμησης η οποία είναι συνεχής στο διάστημα (στην πραγματικότητα συνεχής παντού).

Το βρίσκουμε # f (0) = -2 # και # f (2) = 2 #, έτσι από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής (ή το πιο συγκεκριμένο Θεώρημα του Bolzano), υπάρχει κάποια τιμή # x στο 0, 2 # έτσι ώστε # f (x) = 0 #.

Αυτή η τιμή του #Χ# είναι #sqrt (2) #.

Έτσι αν εξετάζαμε # f (x) # ως μια λογική αποτιμημένη συνάρτηση των λογικών αριθμών τότε το θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής δεν θα κρατούσε, δεδομένου ότι #sqrt (2) # δεν είναι λογικό, έτσι δεν είναι στο λογικό διάστημα # 0, 2 nn QQ #. Για να το θέσω με άλλο τρόπο, τους λογικούς αριθμούς # QQ # έχει ένα κενό στο #sqrt (2) #.

#άσπρο χρώμα)()#

Το μεγάλο πράγμα είναι ότι το θεώρημα της ενδιάμεσης αξίας ισχύει για οποιαδήποτε συνεχή λειτουργία Real valued. Δηλαδή δεν υπάρχουν κενά στους πραγματικούς αριθμούς.