Τι είδους κωνική τομή έχει η εξίσωση 9y ^ 2 - x ^ 2 - 4x + 54y + 68 = 0?

# 9y ^ 2-x ^ 2-4x + 54y + 68 = 0 # θα έχει υπερβολή για το γράφημά του.

Πώς ξέρω? Απλά ένας γρήγορος έλεγχος των συντελεστών στο # x ^ 2 # και το # y ^ 2 # όροι θα λένε …

1) εάν οι συντελεστές είναι και οι δύο ίδιοι και το ίδιο σήμα, ο αριθμός θα είναι ένας κύκλος.

2) αν οι συντελεστές είναι διαφορετικοί αριθμοί αλλά το ίδιο σύμβολο, το σχήμα θα είναι μια έλλειψη.

3) αν οι συντελεστές είναι αντίθετες ενδείξεις, το γράφημα θα είναι μια υπερβολή.

Ας το λύσουμε: # -1 (x ^ 2 + 4x) + 9 (y ^ 2 + 6y) = -68 #

Παρατηρήστε ότι έχω ήδη υπολογίσει τους κορυφαίους συντελεστές και συγκέντρωσα τους όρους που και οι δύο έχουν την ίδια μεταβλητή.

(1) (4) + 9 (9) # 1 (x ^ 2 + 4x + 4) +9 (y ^ 2 + 6y + 9)

Σε αυτό το βήμα, ολοκλήρωσα το τετράγωνο προσθέτοντας 4 και 9 μέσα στις παρενθέσεις, αλλά στη συνέχεια προστέθηκε στην άλλη πλευρά, οι αριθμοί αυτοί πολλαπλασιάζονταν με τους αριθμούς -1 και 9.

# 1 (x + 2) ^ 2 + 9 (γ + 3) ^ 2 = 9 # Ξαναγράψτε σε φορμαρισμένα έντυπα στα αριστερά.

# 1 (x + 2) ^ 2/9 + (γ + 3) ^ 2/1 = 1 # που μοιάζει άβολα … έτσι θα αλλάξω τη σειρά και θα φανώ σαν αφαίρεση:

# (γ + 3) ^ 2- (χ + 2) / 9 = 1 #

Αυτό θέλησα να δω. Μπορώ να πω ποιο είναι το κέντρο της υπερβολής (-2, -3), πόσο μακριά να μετακινηθείτε από το κέντρο για να φτάσετε σε κορυφές (πάνω και κάτω 1 μονάδα από το y-όριο διαιρείται με 1) και την κλίση των ασυμπτωτικών (#+-1/3#). Η "επιπεδότητα" αυτής της κλίσης, εκτός από το ανοδικό και προς τα κάτω άνοιγμα των καμπυλών, θα κάνει αυτό το διάγραμμα αρκετά ανοικτό.