Ποια είναι η τυποποιημένη μορφή της εξίσωσης ενός κύκλου που διέρχεται από (0, -14), (-12, -14), και (0,0)?

Απάντηση:

Κύκλος ακτίνας #sqrt (85) # και κέντρο #(-6,-7)#

Η τυποποιημένη εξίσωση φόρμας είναι: # (χ + 6) ^ 2 + (γ + 7) ^ 2 = 85 #

Η, # x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #

Εξήγηση:

Η καρτεσιανή εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο # (α, β) # και την ακτίνα # r # είναι:

# (x-a) ^ 2 + (γ-β) ^ 2 = r ^ 2 #

Εάν ο κύκλος περνάει μέσα από (0, -14) τότε:

# (0-α) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 1

Εάν ο κύκλος περνάει μέσα από (0, -14) τότε:

# (-12-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# (12 + α) ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 2

Αν ο κύκλος περνάει (0,0) τότε:

# (0-α) ^ 2 + (0-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 3

Τώρα έχουμε 3 εξισώσεις σε 3 άγνωστα

Eq 2 - Eq 1 δίνει:

# (12 + α) ^ 2-α ^ 2 = 0 #

#:. (12 + α-α) (12 + α + α) = 0 #

#:. 12 (12 + 2a) = 0 #

#:. α = -6 #

Subs # a = 6 # στην εξίσωση 3:

# 36 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 4

Subs # a = 6 # και # r ^ 2 = 36 + b ^ 2 #στην εξίσωση 1:

# 36 + (14 + b) ^ 2 = 36 + b ^ 2 #

#:. (14 + b) ^ 2-b ^ 2 = 0 #

#:. (14 + b-b) (14 + b + b) = 0 #

#:. 14 (14 + 2b) = 0 #

#:. b = -7 #

Και τελικά, τα Subs # b = -7 # στην εξίσωση 4.

# 36 + 49 = r ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 85 #

#:. r = sqrt (85) #

Και έτσι η εξίσωση του κύκλου είναι

# (χ + 6) ^ 2 + (γ + 7) ^ 2 = 85 #

Το οποίο αντιπροσωπεύει έναν κύκλο ακτίνας #sqrt (85) # και κέντρο #(-6,-7)#

Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε εάν απαιτείται για να πάρουμε:

# x ^ 2 + 12x + 36 + y ^ 2 + 14y + 49 = 85 #

# x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #