Πώς βρίσκετε τον όγκο της περιοχής που περικλείεται από τις καμπύλες y = x ^ 2 - 1 και y = 0 περιστρεφόμενο γύρω από τη γραμμή x = 5;

Απάντηση:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3)

Εξήγηση:

Προκειμένου να υπολογίσουμε αυτόν τον όγκο, κατά κάποιο τρόπο θα το κόψουμε σε φέτες (άπειρη).

Οραματιζόμαστε την περιοχή, για να μας βοηθήσουμε με αυτό, έχω περικλείσει το γράφημα όπου η περιοχή είναι το μέρος κάτω από την καμπύλη. Σημειώνουμε αυτό # y = x ^ 2-1 # διασχίζει τη γραμμή # x = 5 # όπου # y = 24 # και ότι διασχίζει τη γραμμή # y = 0 # όπου # x = 1 # διάγραμμα {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Κατά την κοπή αυτής της περιοχής σε οριζόντιες φέτες με ύψος # dy # (πολύ μικρό ύψος). Το μήκος αυτών των φετών εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τη συντεταγμένη y. για να υπολογίσουμε αυτό το μήκος, πρέπει να γνωρίζουμε την απόσταση από ένα σημείο # (γ, χ) # στη γραμμή # y = x ^ 2-1 # στο σημείο (5, γ). Φυσικά αυτό είναι # 5-x #, αλλά θέλουμε να μάθουμε πώς εξαρτάται # y #. Από # y = x ^ 2-1 #, ξέρουμε # x ^ 2 = y + 1 #, δεδομένου ότι έχουμε # x> 0 # για την περιοχή που ενδιαφέρουμε, # x = sqrt (γ + 1) #, επομένως η απόσταση αυτή εξαρτάται από # y #, την οποία θα δηλώσουμε ως # r (y) # δίνεται από # r (y) = 5-sqrt (γ + 1) #.

Τώρα περιστρέφουμε την περιοχή γύρω # x = 5 #, αυτό σημαίνει ότι κάθε κομμάτι γίνεται ένας κύλινδρος με ύψος # dy # και την ακτίνα # r (y) #, επομένως ένας τόμος #pir (y) ^ 2dy #. Το μόνο που πρέπει να κάνουμε τώρα είναι να προσθέσουμε αυτούς τους απείρως μικρούς όγκους χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση. Σημειώνουμε αυτό # y # πηγαίνει από #0# προς το #24#.

(Y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1) (26 + 24) = pi (26 * 24-20) (y-1) (y-1) / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3).