Οι πραγματικοί αριθμοί a, b και c ικανοποιούν την εξίσωση: 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2 - 4ab - 12ac = 0. Με τον σχηματισμό τέλειων τετραγώνων, πώς αποδεικνύετε ότι a = 2b = c?

Απάντηση:

# a = 2b = 3c #, Βλ. Την εξήγηση και την απόδειξη παρακάτω.

Εξήγηση:

# 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2-4ab-12ac = 0 #

Παρατηρήστε ότι όλοι οι συντελεστές είναι ζυγοί εκτός από ένα ^ 2 δηλαδή: 3, ξαναγράψουμε ως εξής στην ομάδα για factoring:

# α ^ 2-4ab + 4b ^ 2 + 2a ^ 2-12ac + 18c ^ 2 = 0 #

# (α ^ 2-4ab + 4b ^ 2) + 2 (α ^ 2-6ac + 9c ^ 2) = 0 #

(α-2β) ^ 2 + 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

Έχουμε έναν τέλειο τετράγωνο όρο συν δύο φορές τέλειο τετράγωνο άλλου όρου ίσου με το μηδέν, για να είναι αληθές ότι κάθε όρος του αθροίσματος πρέπει να είναι ίσος με το μηδέν, τότε:

# (a - 2b) ^ 2 = 0 # και # 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

# a-2b = 0 # και # a-3c = 0 #

# a = 2b # και # a = 3c #

έτσι:

# a = 2b = 3c #

Ως εκ τούτου αποδείχθηκε.