Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν m Martians & n Earthlings σε μια ειρηνική διάσκεψη. Για να εξασφαλίσουμε ότι οι Αρειανοί παραμένουν ειρηνικοί στο συνέδριο, πρέπει να βεβαιωθούμε ότι δεν μένουν μαζί δύο αρειανοί, έτσι ώστε ανάμεσα σε δυο Αρειανούς να υπάρχει τουλάχιστον ένας Γήινος (βλέπε λεπτομέρεια)

Απάντηση:

ένα) # (η! (η + 1)!) / ((η-μ + 1)

σι) # (η! (η-1)!) / ((η-ι)))

Εξήγηση:

Εκτός από κάποιες πρόσθετες συλλογιστικές, θα χρησιμοποιήσουμε τρεις κοινές τεχνικές για την καταμέτρηση.

Πρώτον, θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι αν υπάρχουν # n # τρόπους να κάνεις ένα πράγμα και # m # τρόπους να κάνετε κάτι άλλο, στη συνέχεια υποθέτοντας ότι τα καθήκοντα είναι ανεξάρτητα (αυτό που μπορείτε να κάνετε για κάποιον δεν βασίζεται σε αυτό που κάνατε στο άλλο), υπάρχουν # nm # τρόπους για να κάνετε και τα δύο. Για παράδειγμα, αν έχω πέντε πουκάμισα και τρία ζευγάρια παντελόνι, τότε υπάρχουν #3*5=15# ρούχα που μπορώ να κάνω.

Δεύτερον, θα χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον αριθμό τρόπων παραγγελίας #κ# αντικείμενα είναι #κ!#. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι υπάρχουν #κ# τρόπους επιλογής του πρώτου αντικειμένου και στη συνέχεια # k-1 # τρόποι επιλογής του δεύτερου και ούτω καθεξής και ούτω καθεξής. Έτσι ο συνολικός αριθμός των τρόπων είναι (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Τέλος, θα χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον αριθμό τρόπων επιλογής #κ# αντικείμενα από ένα σύνολο # n # αντικείμενα είναι # ((n), (k)) = (η!) / (k! (n-k) (προφέρεται ως n επιλέξτε k). Μια περιγραφή του τρόπου επίτευξης αυτού του τύπου δίνεται εδώ.

α) Αν αγνοήσουμε αρχικά τις διαχωρισμούς, υπάρχουν #m! # τρόποι να παραγγείλετε τους μάρτυρες και τους #n! # τρόποι για να παραγγείλετε τους Γηραιούς. Τέλος, πρέπει να δούμε πού βρίσκονται οι μάρτυρες. Καθώς κάθε Άρη πρέπει να τοποθετηθεί είτε σε ένα άκρο είτε ανάμεσα σε δύο Γηθοί, υπάρχουν # n + 1 # θέσεις που μπορούν να καθίσουν (ένα στα αριστερά του κάθε Earthling, και στη συνέχεια ένα πιο στα δεξιά). Όπως υπάρχουν # m # Αρειανοί, αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν # ((n + 1), (m)) = ((η + 1) πιθανούς τρόπους για την τοποθέτησή τους. Επομένως, οι συνολικές δυνατές ρυθμίσεις καθισμάτων είναι

(n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n +

β) Το πρόβλημα αυτό είναι παρόμοιο με τα παραπάνω. Για να καταστήσουμε τα πράγματα απλούστερα, ας πάρουμε ένα Earthling και να τον καλέσουμε πρόεδρο. Επειδή δεν έχει σημασία πώς περιστρέφεται ένας κύκλος, αντί να αναφερθούμε σε ρυθμίσεις καθισμάτων που βασίζονται σε απόλυτη παραγγελία, θα εξετάσουμε τις ρυθμίσεις καθισμάτων με βάση τη σχέση τους με τον πρόεδρο.

Ακριβώς όπως παραπάνω, εάν αρχίσουμε από τον πρόεδρο και συνεχίσουμε δεξιόστροφα γύρω από τον κύκλο, μπορούμε να μετρήσουμε τον αριθμό των τρόπων παραγγελίας των υπολοίπων συμμετεχόντων. Όπως υπάρχουν # m # Μαρτίνους και # n-1 # οι υπόλοιποι Γαιοκτήμονες, υπάρχουν #m! # τρόποι να παραγγείλετε τους μάρτυρες και τους # (n-1)! # τρόπους για να παραγγείλετε τους υπόλοιπους Γηθοί.

Στη συνέχεια, πρέπει και πάλι να τοποθετήσουμε τους μάρτυρες. Αυτή τη φορά δεν έχουμε ένα πρόσθετο σημείο στο τέλος, έτσι υπάρχουν μόνο # n # τοποθεσίες που μπορούν να καθίσουν. Τότε υπάρχουν # ((n), (m)) = (η!) / (m! (n-m) τρόπους για να τα τοποθετήσετε. Επομένως, οι συνολικές δυνατές ρυθμίσεις καθισμάτων είναι

(n-1)) / ((n-m)) = (n-1)