Ερώτηση # f3eb0

Απάντηση:

# c = 2/3 #

Εξήγηση:

Για # f (x) # να είναι συνεχής στο # x = 2 #, πρέπει να ισχύουν τα εξής:

• #lim_ (x-> 2) f (x) # υπάρχει.
• # f (2) # υπάρχει (εδώ δεν υπάρχει πρόβλημα εδώ) # f (x) # ορίζεται σαφώς στο # x = 2 #

Ας ερευνήσουμε την πρώτη θέση. Γνωρίζουμε ότι για να υπάρχει ένα όριο, τα όρια αριστερού χεριού και δεξιάς πλευράς πρέπει να είναι ίσα. Μαθηματικά:

(x -> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x -> 2 ^ +)

Αυτό δείχνει επίσης γιατί μας ενδιαφέρει μόνο # x = 2 #: Είναι η μόνη αξία του #Χ# για την οποία αυτή η λειτουργία ορίζεται ως διαφορετικά πράγματα προς τα δεξιά και προς τα αριστερά, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει πιθανότητα τα όρια αριστερού & δεξιού χεριού να μην είναι ίσα.

Θα προσπαθήσουμε να βρούμε τιμές του "c" για τις οποίες τα όρια είναι ίσα.

Επιστρέφοντας στην τμηματική λειτουργία, βλέπουμε ότι στα αριστερά του #2#, # f (x) = cx ^ 2 + 2x #. Εναλλακτικά, στα δεξιά του # x = 2 #, το βλέπουμε αυτό # f (x) = x ^ 3-cx #

Ετσι:

(x -> 2) x ^ 3 - cx # (x)

Αξιολόγηση των ορίων:

(2) ^ 2c + 2 (2) = (2) ^ 3 - (2) c #

# => 4c + 4 = 8-2c #

Από εδώ, είναι απλώς θέμα επίλυσης #ντο#:

# 6c = 4 #

# c = 2/3 #

Τι βρήκαμε; Λοιπόν, έχουμε καταλάβει μια αξία για #ντο# που θα κάνει τη λειτουργία αυτή συνεχής παντού. Οποιαδήποτε άλλη τιμή #ντο# και τα όρια δεξιάς και αριστεράς δεν θα ισούνται μεταξύ τους και η λειτουργία δεν θα είναι συνεχής παντού.

Για να πάρετε μια οπτική ιδέα για το πώς λειτουργεί αυτό, δείτε αυτό το διαδραστικό γράφημα που έκανα. Επιλέξτε διαφορετικές τιμές #ντο#, και δείτε πώς η λειτουργία σταματά να είναι συνεχής στο # x = 2 #!

Ελπίδα ότι βοήθησε:)