Ερώτηση # 41113

Απάντηση:

Αυτή η σειρά μπορεί να είναι μόνο μια γεωμετρική ακολουθία αν # x = 1/6 #, ή στο πλησιέστερο εκατοστό # xapprox0.17 #.

Εξήγηση:

Η γενική μορφή μιας γεωμετρικής ακολουθίας είναι η ακόλουθη:

# a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3, … #

ή περισσότερο τυπικά # (ar ^ n) _ (n = 0) ^ oo #.

Από τη στιγμή που έχουμε την ακολουθία # x, 2x + 1,4x + 10, … #, μπορούμε να ορίσουμε # a = x #, Έτσι # xr = 2χ + 1 # και # xr ^ 2 = 4x + 10 #.

Διαίρεση από #Χ# δίνει # r = 2 + 1 / χ # και # r ^ 2 = 4 + 10 / χ #. Μπορούμε να κάνουμε αυτή τη διαίρεση χωρίς προβλήματα, γιατί αν # x = 0 #, τότε η ακολουθία θα είναι συνεχώς #0#, αλλά # 2 + 1 = 2 * 0 + 1 = 1ne0 #. Ως εκ τούτου, γνωρίζουμε σίγουρα # xne0 #.

Από τότε που έχουμε # r = 2 + 1 / χ #, ξέρουμε

# r ^ 2 = (2 + 1 / χ) ^ 2 = 4 + 4 / x + 1 / x ^ 2 #.

Επιπλέον βρήκαμε # r ^ 2 = 4 + 10 / χ #, έτσι αυτό δίνει:

# 4 + 10 / χ = 4 + 4 / χ + 1 / χ ^ 2 #, η αναδιάταξη αυτού δίνει:

# 1 / x ^ 2-6 / x = 0 #, πολλαπλασιάζοντας με # x ^ 2 # δίνει:

# 1-6x = 0 #, Έτσι # 6x = 1 #.

Από αυτό καταλήγουμε # x = 1/6 #.

Στο πλησιέστερο εκατοστό αυτό δίνει # xapprox0.17 #.

Απάντηση:

Όπως είπε ο Daan, αν η ακολουθία πρόκειται να είναι γεωμετρική, πρέπει να έχουμε # x = 1/6 ~~ 0,17 # Εδώ είναι ένας τρόπος να δείτε ότι:

Εξήγηση:

Σε μια γεωμετρική ακολουθία, οι όροι έχουν μια κοινή αναλογία.

Επομένως, αν αυτή η ακολουθία πρέπει να είναι γεωμετρική, πρέπει να έχουμε:

# (2χ + 1) / χ = (4χ + 10) / (2χ + 1) #

Η λύση αυτής της εξίσωσης μας παίρνει # x = 1/6 #