Το γράφημα μιας εκθετικής συνάρτησης με βάση> 1 πρέπει να υποδηλώνει "ανάπτυξη". Αυτό σημαίνει ότι αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα. Δείτε το γράφημα:
Για μια αυξανόμενη λειτουργία όπως αυτή, η τελική συμπεριφορά στο δεξιό "τέλος" πηγαίνει στο άπειρο. Γραπτή όπως:
Αυτό σημαίνει ότι οι μεγάλες δυνάμεις των 5 θα συνεχίσουν να μεγαλώνουν και να κατευθύνονται προς το άπειρο. Για παράδειγμα,
Το αριστερό άκρο του γραφήματος φαίνεται να στηρίζεται στον άξονα x, έτσι δεν είναι; Αν υπολογίσετε μερικές αρνητικές δυνάμεις των 5, θα δείτε ότι παίρνουν πολύ μικρό (αλλά θετικό), πολύ γρήγορα. Για παράδειγμα:
Ποια είναι η τελική συμπεριφορά της συνάρτησης f (x) = 3x ^ 4 - x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x + 5?
Η απάντηση είναι: f rarr + oo όταν xrarr + -oo. Εάν κάνουμε τα δύο όρια για xrarr + -oo, τα αποτελέσματα είναι και τα δύο + oo, επειδή η δύναμη που οδηγεί είναι 3x ^ 4 και 3 * (+ - oo) ^ 4 = + oo.
Ποια είναι η τελική συμπεριφορά της συνάρτησης f (x) = ln x;
F (x) = ln (x) -> infty ως x -> infty (ln (x) > 0 ^ {+} (ln (x) αυξάνεται χωρίς δέσμευση στην αρνητική κατεύθυνση καθώς το x πλησιάζει το μηδέν από τη δεξιά). Για να αποδείξουμε το πρώτο γεγονός, πρέπει ουσιαστικά να δείξετε ότι η αυξανόμενη συνάρτηση f (x) = ln (x) δεν έχει οριζόντιο asymptote ως x -> infty. Έστω M> 0 να είναι κάθε δεδομένο θετικό αριθμό (ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλο). Εάν x> e ^ {M}, τότε f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M (δεδομένου ότι f (x) = ln (x) είναι μια αυξανόμενη συνάρτηση). Αυτό αποδεικνύει ότι οποιαδήποτε οριζόντια γραμμή y = M δεν μπορεί να είναι μια οριζόντια ασυμπτωτική
Ποια είναι η τελική συμπεριφορά της συνάρτησης f (x) = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x + 5?
Η τελική συμπεριφορά μιας πολυωνυμικής συνάρτησης καθορίζεται από τον όρο του υψηλότερου βαθμού, στην περίπτωση αυτή το x ^ 3. Συνεπώς, f (x) -> + oo ως x -> + oo και f (x) -> - oo ως x -> - oo. Για τις μεγάλες τιμές του x, ο όρος του υψηλότερου βαθμού θα είναι πολύ μεγαλύτερος από τους άλλους όρους, ο οποίος μπορεί να αγνοηθεί αποτελεσματικά. Εφόσον ο συντελεστής x ^ 3 είναι θετικός και ο βαθμός του είναι παράξενος, η τελική συμπεριφορά είναι f (x) -> + oo ως x -> + oo και f (x) -> - oo ως x -> - oo.