Ποια είναι η τελική συμπεριφορά της συνάρτησης f (x) = ln x;

#f (x) = ln (x) -> infty # όπως και # x -> infty # (# n (x) # μεγαλώνει χωρίς να δεσμεύεται ως #Χ# αναπτύσσεται χωρίς δεσμό) και #f (x) = ln (x) -> - infty # όπως και # x -> 0 ^ {+} # (# n (x) # αναπτύσσεται χωρίς δέσμευση προς την αρνητική κατεύθυνση ως #Χ# πλησιάζει το μηδέν από τη δεξιά).

Για να αποδείξετε το πρώτο γεγονός, πρέπει ουσιαστικά να δείξετε ότι η αυξανόμενη λειτουργία # f (x) = ln (x) # δεν έχει οριζόντιο ασυμπτωτικό ως # x -> infty #.

Αφήνω #M> 0 # να είναι κάθε δεδομένο θετικό αριθμό (ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλο). Αν # x> e ^ {M} #, έπειτα (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (Από # f (x) = ln (x) # είναι μια αυξανόμενη λειτουργία). Αυτό αποδεικνύει ότι οποιαδήποτε οριζόντια γραμμή # y = M # δεν μπορεί να είναι ένα οριζόντιο ασυμπτωτικό # f (x) = ln (x) # όπως και # x -> infty #. Το γεγονός οτι # f (x) = ln (x) # είναι μια αυξανόμενη λειτουργία τώρα σημαίνει αυτό #f (x) = ln (x) -> infty # όπως και # x-> infty #.

Για να αποδείξετε το δεύτερο γεγονός, αφήστε #M> 0 # να είναι κάθε δεδομένο θετικό αριθμό έτσι ώστε # -M <0 # είναι οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός (ανεξάρτητα από το πόσο απέχει από το μηδέν). Αν # 0 <x <e ^ {- M} #, έπειτα (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (Από # f (x) = ln (x) # αυξάνεται). Αυτό αποδεικνύει αυτό # f (x) = ln (x) # παίρνει κάτω από κάθε οριζόντια γραμμή αν # 0 <x # είναι αρκετά κοντά στο μηδέν. Αυτό σημαίνει #f (x) = ln (x) -> - infty # όπως και # x -> 0 ^ {+} #.