Τι είναι το Infinity; + Παράδειγμα

Απάντηση:

Αυτό δεν μπορεί να απαντηθεί χωρίς πλαίσιο. Εδώ είναι μερικές από τις χρήσεις στα μαθηματικά.

Εξήγηση:

Ένα σύνολο έχει απεριόριστη καρδιανότητα αν μπορεί να χαρτογραφηθεί ένα προς ένα σε ένα σωστό υποσύνολο του. Αυτό δεν είναι η χρήση του άπειρου λογισμικού.

Στον Λογαριασμό, χρησιμοποιούμε το "άπειρο" με 3 τρόπους.

Σημείωση διαστήματος:

Τα σύμβολα # oo # (αντίστοιχα # -oo #) χρησιμοποιούνται για να υποδείξουν ότι ένα διάστημα δεν έχει δικαίωμα (ή αριστερά) τελικό σημείο.

Το διάστημα # (2, oo) # είναι το ίδιο με το σετ #Χ#

Άπειρα Όρια

Εάν ένα όριο αποτύχει επειδή υπάρχει #Χ# προσεγγίσεις #ένα#, οι τιμές του # f (x) # αύξηση χωρίς δεσμεύσεις, τότε γράφουμε #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Σημειώστε ότι: η φράση "χωρίς δεσμό" είναι σημαντική. Τα φυτά:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # αυξάνονται, αλλά οριοθετούνται παραπάνω. (Ποτέ δεν φτάνουν ή περνούν #1#.)

Όρια στο Άπειρο

Η φράση "το όριο στο άπειρο" χρησιμοποιείται για να υποδείξει ότι έχουμε ρωτήσει τι συμβαίνει # f (x) # όπως και #Χ# αυξάνεται χωρίς περιορισμό.

Παραδείγματα περιλαμβάνουν

Το όριο ως #Χ# αυξάνεται χωρίς περιορισμό # x ^ 2 # δεν υπάρχει επειδή, όπως #Χ# αυξάνεται χωρίς περιορισμούς, # x ^ 2 # επίσης αυξάνεται χωρίς δεσμεύσεις.

Αυτό είναι γραμμένο #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # και το διαβάζουμε συχνά

Msgstr "Το όριο ως #Χ# πηγαίνει στο άπειρο, του # x ^ 2 # είναι άπειρο"

Το όριο #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # δείχνει ότι, όπως και #Χ# αυξάνεται χωρίς περιορισμούς, # 1 / x # προσεγγίσεις #0#.

Απάντηση:

Εξαρτάται από το πλαίσιο …

Εξήγηση:

#bb + - # Απεριόριστα και όρια

Εξετάστε το σύνολο των πραγματικών αριθμών # RR #, που συχνά απεικονίζεται ως γραμμή με αρνητικούς αριθμούς στα αριστερά και θετικούς αριθμούς στα δεξιά. Μπορούμε να προσθέσουμε δύο σημεία που καλούνται # + oo # και # -oo # που δεν λειτουργούν αρκετά ως αριθμοί, αλλά έχουν την ακόλουθη ιδιότητα:

#AA x σε RR, -ο <χ <+ oo #

Τότε μπορούμε να γράψουμε #lim_ (x -> + oo) # να σημαίνει το όριο ως #Χ# παίρνει όλο και περισσότερο θετικό χωρίς ανώτερο όριο και #lim_ (x -> - oo) # να σημαίνει το όριο ως #Χ# παίρνει όλο και πιο αρνητικά χωρίς κατώτατα όρια.

Μπορούμε επίσης να γράψουμε εκφράσεις όπως:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… που σημαίνει ότι η αξία του # 1 / x # αυξάνει ή μειώνεται χωρίς να δεσμεύεται ως #Χ# προσεγγίσεις #0# από το "δεξί" ή "αριστερό".

Έτσι σε αυτά τα πλαίσια # + - oo # είναι πολύ στενοί για να εκφράσουν τις συνθήκες ή τα αποτελέσματα των περιοριστικών διαδικασιών.

Άπειρο ως ολοκλήρωση του # RR # ή # CC #

Η προβολική γραμμή # RR_oo # και τη σφαίρα Riemann # CC_oo # σχηματίζονται προσθέτοντας ένα μόνο σημείο που ονομάζεται # oo # προς το # RR # ή # CC # - το "σημείο στο άπειρο".

Στη συνέχεια, μπορούμε να επεκτείνουμε τον ορισμό των λειτουργιών όπως #f (z) = (az + b) / (cz + d) # να είναι συνεχής και σαφώς καθορισμένη στο σύνολό της # RR_oo # ή # CC_oo #. Αυτοί οι μετασχηματισμοί Möbius λειτουργούν ιδιαίτερα καλά #Ερωτολογώ#, όπου χαρτογράφουν κύκλους σε κύκλους.

Απεριόριστα στη Θεωρία Συνόλων

Το μέγεθος (Cardinality) του συνόλου των ακεραίων είναι άπειρο, γνωστό ως countless infinity. Ο Georg Cantor βρήκε ότι ο αριθμός των πραγματικών αριθμών είναι αυστηρά μεγαλύτερος από αυτό το αμέτρητο άπειρο. Στη θεωρία των συνόλων υπάρχει μια ολόκληρη πληθώρα απείρων αυξανόμενων μεγεθών.

Άπειρο ως αριθμό

Μπορούμε πραγματικά να αντιμετωπίσουμε τα άπειρα ως αριθμούς; Ναι, αλλά τα πράγματα δεν λειτουργούν όπως περιμένετε όλη την ώρα. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να πούμε ευτυχώς # 1 / oo = 0 # και # 1/0 = oo #, αλλά ποια είναι η αξία του # 0 * oo; #

Υπάρχουν συστήματα αριθμών που περιλαμβάνουν άπειρα και άπειρα (άπειρα μικρά). Αυτά παρέχουν μια διαισθητική εικόνα των αποτελεσμάτων των οριακών διαδικασιών όπως η διαφοροποίηση και μπορούν να αντιμετωπιστούν αυστηρά, αλλά υπάρχουν αρκετές παγίδες που πρέπει να αποφευχθούν.