Χρησιμοποιήστε την πρώτη αρχή για να διαφοροποιήσετε; y = sqrt (sinx)

Απάντηση:

Το πρώτο βήμα είναι να ξαναγράψουμε τη λειτουργία ως λογικό εκθέτη # f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

Εξήγηση:

Αφού έχετε την έκφραση σας σε αυτή τη μορφή, μπορείτε να τη διαφοροποιήσετε χρησιμοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας:

Στην περίπτωσή σου: (1/2) -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

Επειτα, # 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) # που είναι η απάντησή σας

Απάντηση:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

Εξήγηση:

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό ορίων του παραγώγου έχουμε:

= f (x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h)

Έτσι για τη δεδομένη λειτουργία, πού # f (x) = sqrt (sinx) #, έχουμε:

(x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) # f '(x) = lim_ (h rarr 0)

() ()) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) (sinx)) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

(x + h)) + (sqrt (sinx)) # # = lim_ (h rarr 0)

Στη συνέχεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τριγωνομετρική ταυτότητα:

# sin (Α + Β) - = sinAcosB + cosAsinB #

Δίνοντας μας:

(x) = x (x + h)) + sqrt (sinx)) # f (x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx)

(sin + x)) + (sqx (sin))) # # = lim_ (h rarr 0)

(xx)) + (sqx (sinx)) + (cosxsin h (x)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

(sin h) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε δύο πολύ τυπικά όρια λογισμού:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1 #, και #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #, και #

Και τώρα μπορούμε να αξιολογήσουμε τα όρια:

= xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx)

# (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #