Για ποιες τιμές του x είναι f (x) = x-x ^ 2e ^ -x κοίλο ή κυρτό;

Απάντηση:

Βρείτε το δεύτερο παράγωγο και ελέγξτε το σύμβολο του. Είναι κυρτό αν είναι θετικό και κοίλο αν είναι αρνητικό.

Κοίλωμα για:

# x σε (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Κυρ για:

# x σε (-ο, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Εξήγηση:

# f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Πρώτο παράγωγο:

# f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

# f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Παίρνω # e ^ -x # ως κοινός παράγοντας για την απλοποίηση του επόμενου παραγώγου:

# f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Δεύτερο παράγωγο:

(x-2) + e ^ -x * (2x-2)) #

(x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

# f '(x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Τώρα πρέπει να μελετήσουμε το σημάδι. Μπορούμε να αλλάξουμε το σημείο για την εύκολη επίλυση του τετραγωνικού:

# f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = β ^ 2-4 * α * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Για να δημιουργήσετε το τετραγωνικό προϊόν:

(2) = 2 + -sqrt (2) = (+ bq) (2)

Επομένως:

(2)) (x) (2 + sqrt (2))) (x) = -

• Μια τιμή του #Χ# μεταξύ αυτών των δύο λύσεων δίνει ένα αρνητικό τετραγωνικό σύμβολο, ενώ οποιαδήποτε άλλη τιμή του #Χ# το κάνει θετικό.
• Οποιαδήποτε τιμή #Χ# κάνει # e ^ -x # θετικός.
• Το αρνητικό σύμβολο στην αρχή της λειτουργίας αντιστρέφει όλες τις πινακίδες.

Επομένως, # f '' (x) # είναι:

Θετική, συνεπώς, κοίλη για:

# x σε (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Αρνητικό, ως εκ τούτου κυρτό για:

# x σε (-ο, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #