Απάντηση:
(4x) / (2) + c # (x) 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^
Εξήγηση:
Για να έχει νόημα αυτό το πρόβλημα # 4-9x ^ 2> = 0 #, Έτσι # -2 / 3 <= χ <= 2/3 #. Ως εκ τούτου, μπορούμε να επιλέξουμε ένα # 0 <= u <= pi # έτσι ώστε # x = 2 / 3cosu #. Χρησιμοποιώντας αυτό, μπορούμε να υποκαταστήσουμε τη μεταβλητή x στο ολοκληρωμένο χρησιμοποιώντας # dx = -2 / 3sinudu #: (x-2) / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / εδώ το χρησιμοποιούμε # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # και αυτό για # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Τώρα χρησιμοποιούμε την ενσωμάτωση από τα μέρη για να βρούμε # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^. Επομένως # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Έτσι βρήκαμε #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, τώρα αντικαθιστούμε #Χ# πίσω για # u #, χρησιμοποιώντας # u = cos ^ (- 1) ((3χ) / 2) #, Έτσι (3x) / 2 (27) - (1) (3x) / 2)) + c #.
Μπορούμε να απλοποιήσουμε περαιτέρω αυτό χρησιμοποιώντας τον ορισμό των sines και cosines από την άποψη των τρίγωνων. Για ένα ορθογωνικό τρίγωνο με γωνία # u # σε μια από τις μη δεξιές γωνίες, # sinu = "αντίθετη πλευρά" / "μακρύτερη πλευρά" #, ενώ # cosu = "παρακείμενη πλευρά" / "μακρύτερη πλευρά" #, αφού γνωρίζουμε # cosu = (3χ) / 2 #, μπορούμε να επιλέξουμε τη γειτονική πλευρά # 3x # και η μακρύτερη πλευρά να είναι #2#. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Πυθαγόρα, βρίσκουμε την αντίθετη πλευρά #sqrt (4-9x ^ 2) #, Έτσι #sin (cos ^ (- 1) ((3χ) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Επομένως (4x) / (2) + c # (x) 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^.
