Ποια είναι τα τοπικά άκρα, εάν υπάρχουν, του f (x) = x ^ 2 + 9x +1;

Απάντηση:

Οι παραβολίτες έχουν ακριβώς ένα ακρότατο, την κορυφή.

είναι #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Από = {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # παντού η λειτουργία είναι κοίλη παντού και αυτό το σημείο πρέπει να είναι το ελάχιστο.

Εξήγηση:

Έχετε δύο ρίζες στην εύρεση της κορυφής της παραβολής: μία, χρησιμοποιήστε τον υπολογισμό για να βρείτε ότι το παράγωγο είναι μηδέν. δύο, αποφύγετε τον υπολογισμό με κάθε κόστος και απλά συμπληρώστε το τετράγωνο. Θα χρησιμοποιήσουμε λογισμό για την πρακτική.

# f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, πρέπει να πάρουμε το παράγωγο αυτού.

= dx (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Με τη γραμμικότητα του παραγώγου που έχουμε

(dx) / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx.

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα ενέργειας, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # έχουμε

(x) = dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Ορίσαμε αυτό το μηδέν για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία, τα τοπικά και παγκόσμια ελάχιστα και μέγιστα και μερικές φορές τα σημεία καμπής έχουν μηδενικά παράγωγα.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

έτσι έχουμε ένα κρίσιμο σημείο στο # x = -9 / 2 # ή #-4 1/2#.

Για να βρούμε τη συντεταγμένη y του κρίσιμου σημείου που υποχωρούμε στο # x = -9 / 2 # πίσω στη λειτουργία, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Το κρίσιμο σημείο / κορυφή είναι #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Αυτό το γνωρίζουμε # a> 0 #, αυτό είναι ένα μέγιστο.

Για να βρούμε επίσημα εάν είναι ένα μέγιστο ή ελάχιστο πρέπει να κάνουμε τη δεύτερη δοκιμή παράγωγου.

(d) / dx (9) = 2 + 0 = 2 # (d)

Το δεύτερο παράγωγο είναι 2 σε όλες τις τιμές του x. Αυτό σημαίνει ότι είναι μεγαλύτερο από μηδέν παντού, και η λειτουργία είναι κοίλη προς τα πάνω παντού (είναι μια παραβολή με # a> 0 # μετά από όλα), έτσι ώστε τα άκρα πρέπει να είναι ένα ελάχιστο, η κορυφή.