Ποιο είναι το arclength του (t-3, t + 4) στο t σε [2,4]?

Απάντηση:

# A = 2sqrt2 #

Εξήγηση:

Ο τύπος για το μήκος παραμετρικού τόξου είναι:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt #

Αρχίζουμε με την εύρεση των δύο παραγώγων:

# dx / dt = 1 # και # dy / dt = 1 #

Αυτό δίνει ότι το μήκος του τόξου είναι:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 =

Στην πραγματικότητα, επειδή η παραμετρική συνάρτηση είναι τόσο απλή (είναι μια ευθεία γραμμή), δεν χρειαζόμαστε καν την ολοκληρωμένη φόρμουλα. Εάν σχεδιάσουμε τη συνάρτηση σε ένα γράφημα, μπορούμε απλώς να χρησιμοποιήσουμε τον κανονικό τύπο απόστασης:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

Αυτό μας δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με το ολοκλήρωμα, δείχνοντας ότι κάθε μέθοδος λειτουργεί, αν και στην περίπτωση αυτή, θα συνιστούσα τη γραφική μέθοδο επειδή είναι απλούστερη.

Το πρωινό του Tyrese κοστίζει 9 δολάρια. Στο νομοσχέδιο προστίθεται φόρος 4%. Θέλει να αφήσει το 15% του κόστους του πρωινού ως συμβουλή. Ποιο είναι το συνολικό κόστος του πρωινού του Tyrese με φόρους και συμβουλές; Αν πληρώνει με ένα λογαριασμό 20 δολαρίων, ποια θα είναι η αλλαγή του;

Το συνολικό κόστος του πρωινού του Tyrese, συμπεριλαμβανομένων των φόρων και των συμβουλών, είναι $ 10,71 Η αλλαγή του από ένα λογαριασμό 20 $ είναι $ 9,29 Το συνολικό του κόστος είναι: Το κόστος του γεύματος + φόρος + άκρη 1) Προσδιορίστε το ποσό του φόρου 4% : 9 xx 0,04 Αυτό το ποσό έρχεται στα $ 0,36. Ελέγξτε αν αυτό είναι λογικό: το 10% των $ 9 ισούται με 90 σεντς. Επομένως, το 5% πρέπει να ισούται με 45 σεντς. Έτσι το 4% πρέπει να είναι λίγο μικρότερο από 45 σεντς. $ 0,36 είναι στην πραγματικότητα λίγο μικρότερη από $ 0,45, οπότε είναι πιθανώς σωστό. ~~~~~~~~~~~~~~~ 2) Προσδιορίστε το ποσό της συμβολαίου 15% των $ 9 υ

Η πυκνότητα του πυρήνα ενός πλανήτη είναι rho_1 και εκείνη του εξωτερικού κελύφους είναι rho_2. Η ακτίνα του πυρήνα είναι R και αυτή του πλανήτη είναι 2R. Το βαρυτικό πεδίο στην εξωτερική επιφάνεια του πλανήτη είναι ίδιο με την επιφάνεια του πυρήνα ποια είναι η αναλογία rho / rho_2. ;

3 Υποθέστε ότι η μάζα του πυρήνα του πλανήτη είναι m και αυτή του εξωτερικού κελύφους είναι m 'Έτσι, το πεδίο στην επιφάνεια του πυρήνα είναι (Gm) / R ^ 2 Και στην επιφάνεια του κελύφους θα είναι (G (m + m)) / (2R) ^ 2 Δεδομένου ότι και τα δύο είναι ίσα, έτσι (Gm) / R ^ = = m 'ή m' = 3m Τώρα, m = 4/3 pi R ^ 3 rho_1 (μάζα = όγκος * πυκνότητα) και m '= 4/3 π ((2R) / 3 pi 7R ^ 3 rho_2 Συνεπώς, 3m = 3 (4/3 pi R ^ 3 rho_1) = m '= 4/3 pi 7R ^ 3 rho_2 Έτσι rho_1 = 7/3 rho_2 ή (rho_1) / rho_2 ) = 7/3

Ποιο είναι το arclength του (2t ^ 2-t, t ^ 4-t) στο t στο [-4,1]?

Ο τύπος για το arclength L είναι L = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt Οι παραμετρικές εξισώσεις σας είναι x = 2t ^ 2-t και y = , έτσι dx / dt = 4t-1 και dy / dt = 4t ^ 3-1. Με ένα διάστημα [a, b] = [-4,1], αυτό καθιστά L = int_4 ^ 1sqrt ((4t-1) ^ 2 + (4t ^ 3-1) ^ 2) 4 t - 1) ^ 2 + (4 t ^ 3 - 1) ^ 2 απλοποιεί σε 16 t ^ 6-8 t ^ 3 + 16 t ^ 2-8 t + 2, ευκολότερη. Και το αριθμητικό σου ολοκλήρωμα είναι περίπου 266.536.