Ερώτηση # 27939

Απάντηση:

Όπως τόνισε η Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # δεν είναι μηδέν. (Παραμέλησα να το ελέγξω.) Τα άλλα μηδενικά είναι # 1-sqrt3 i # και #1#.

Εξήγηση:

Επειδή όλοι οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί, πρέπει να εμφανίζονται φανταστικά μηδενικά στα συζευγμένα ζεύγη.

Επομένως, # 1-sqrt3 i # είναι μηδέν.

Αν #ντο# τότε είναι μηδέν # z-c # είναι ένας παράγοντας, έτσι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε

# (z- (1 + sqrt3i)) (z- (1-sqrt3i)) # να πάρω # z ^ 2-2z + 4 #

και στη συνέχεια διαιρέστε # P (z) # από το τετραγωνικό.

Αλλά είναι πιο γρήγορα να εξεταστεί το πιθανό μηδενικό #Π# πρώτα. Ή προσθέστε τους συντελεστές για να το δείτε #1# είναι επίσης μηδέν.

Απάντηση:

#1# και # 1 - sqrt3 i #

Εξήγηση:

Υπάρχει ένα σφάλμα στην ερώτησή σας. Η ρίζα πρέπει να είναι # 1 + sqrt3 i #. Μπορείτε να το επαληθεύσετε τοποθετώντας την τιμή στην έκφραση. Αν είναι ρίζα, η έκφραση πρέπει να αξιολογηθεί στο μηδέν.

Η έκφραση έχει όλους τους πραγματικούς συντελεστές, έτσι από το Θεώρημα σύνθετων συζευγμένων ριζών (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), έχουμε ότι η άλλη πολύπλοκη ρίζα είναι # 1 - sqrt3 i #, Σαφώς, η τρίτη ρίζα (ας πούμε #ένα#) πρέπει να είναι πραγματική, δεδομένου ότι δεν μπορεί να έχει μια πολύπλοκη σύζευξη. διαφορετικά θα υπάρχουν 4 ρίζες, κάτι που δεν είναι δυνατό για μια εξίσωση 3ου βαθμού.

Σημείωση

(z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3i) ^ 2) # (Από # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Θα προσπαθήσουμε να πάρουμε αυτόν τον παράγοντα στην έκφραση.

Μπορούμε να γράψουμε:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

= z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

= (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)

Απάντηση:

Ως εισαγωγή, νομίζω ότι πρέπει να είναι η ρίζα #color (μπλε) (1 + sqrt3) # και οχι #color (κόκκινο) (- 1 + sqrt3) #

Σε αυτή τη βάση η απάντησή μου είναι:

#z σε {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Εξήγηση:

Χρησιμοποιώντας την ιδέα του σύνθετα συζυγή και μερικά άλλα cool κόλπα.

# P (z) # είναι ένα πολυώνυμο βαθμού #3#. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει μόνο να έχει #3# ρίζες.

Ένα ενδιαφέρον γεγονός για τις σύνθετες ρίζες είναι ότι ποτέ δεν συμβαίνουν μόνοι τους συζευγμένα ζεύγη.

Οπότε αν # 1 + isqrt3 # είναι μια ρίζα, τότε συζυγός της: # 1-isqrt3 # σίγουρα είναι και η ρίζα!

Και αφού υπάρχει μόνο ένας ακόμη ρίζας, μπορούμε να την ονομάσουμε ρίζα # z = a #.

Δεν είναι πολύπλοκος αριθμός, επειδή οι σύνθετες ρίζες εμφανίζονται πάντα σε ζεύγη.

Και επειδή αυτή είναι η τελευταία από τις #3# ρίζες, δεν υπάρχει άλλο ζεύγος μετά το πρώτο!

Στο τέλος οι παράγοντες του # P (z) # εύκολα βρέθηκαν να είναι "z- (1-isqrt3)" και "(z-a) #"

Σημείωση: Σημειώστε ότι η διαφορά μεταξύ μιας ρίζας και ενός παράγοντα είναι ότι:

- Μια ρίζα θα μπορούσε να είναι # z = 1 + i #

Αλλά ο αντίστοιχος παράγοντας θα ήταν # z- (1 + i) #

Το δεύτερο τέχνασμα είναι αυτό, παράγοντας # P (z) # θα πρέπει να πάρουμε κάτι τέτοιο:

(Z) (z-a) (z) (z-a)

Στη συνέχεια, αναπτύξτε τα τιράντες, (1-isqrt3) (z-a) # (z) = z ^ 2-z (1+ isqrt3 + 1-isqrt3)

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a)

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-α-2) + z (2a + 4)

Στη συνέχεια, εξισώνουμε αυτό με το αρχικό πολυώνυμο # P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

(2α + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Δεδομένου ότι τα δύο πολυώνυμα είναι πανομοιότυπα, εξισώνουμε τους συντελεστές του # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #και # z ^ 0 #(ο σταθερός όρος) σε κάθε πλευρά,

Στην πραγματικότητα, πρέπει να επιλέξουμε μια εξίσωση και να την λύσουμε #ένα#

Εξισώνοντας τους σταθερούς όρους, # => - 4a = -4 #

# => α = 1 #

Επομένως η τελευταία ρίζα είναι #color (μπλε) (z = 1) #