Πώς να αποδείξουμε ότι η σειρά συγκλίνει;

Απάντηση:

Συγκεντρώνεται με τη μέθοδο άμεσης σύγκρισης.

Εξήγηση:

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη δοκιμή άμεσης σύγκρισης, στο μέτρο που έχουμε

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, η σειρά αρχίζει από τη μία.

Για να χρησιμοποιήσετε τη Δοκιμή άμεσης σύγκρισης, πρέπει να το αποδείξουμε # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # είναι θετική # 1, oo) #.

Πρώτα, σημειώστε ότι στο διάστημα # 1, oo), cos (1 / k) # είναι θετική. Για τιμές του #Χ # cosx # βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο (και επομένως θετικό). Λοιπόν, για # k> = 1, 1 / k Έτσι, #cos (1 / k) # είναι πράγματι θετική.

Επιπλέον, μπορούμε να πούμε #cos (1 / k) <= 1 #, όπως και (1) = cos (0) = 1 #.

Στη συνέχεια, μπορούμε να ορίσουμε μια νέα ακολουθία

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # για όλα #κ.#

Καλά, (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Γνωρίζουμε ότι αυτό συγκλίνει από το #Π-#δοκιμή σειρά, είναι στη μορφή # sum1 / k ^ p # όπου # p = 2> 1 #.

Στη συνέχεια, καθώς οι μεγαλύτερες σειρές συγκλίνουν, πρέπει και οι μικρότερες σειρές.

Απάντηση:

Συγκρίνεται με τη μέθοδο άμεσης σύγκρισης (βλ. Παρακάτω για λεπτομέρειες).

Εξήγηση:

Αναγνωρίστε ότι το εύρος συνημιτόνου είναι -1,1. Δείτε το γράφημα του #cos (1 / x) #:

γράφημα {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Όπως μπορείτε να δείτε, το το μέγιστο η αξία που θα επιτύχει θα είναι 1. Αφού προσπαθούμε απλώς να αποδείξουμε τη σύγκλιση εδώ, ας ορίσουμε τον αριθμητή σε 1, αφήνοντας:

# sum1 / (9k ^ 2) #

Τώρα, αυτό γίνεται ένα πολύ απλό πρόβλημα άμεσης σύγκρισης. Θυμηθείτε τι κάνει η άμεση δοκιμή σύγκρισης:

Εξετάστε μια αυθαίρετη σειρά #ένα# (δεν γνωρίζουμε αν συγκλίνει / αποκλίνει) και μια σειρά για την οποία γνωρίζουμε τη σύγκλιση / απόκλιση, # b_n #:

Αν # b_n> a_n # και # b_n # τότε συγκλίνει #ένα# επίσης συγκλίνει.

Αν #b_n <a_n # και # b_n # αποκλίνει, τότε #ένα# επίσης αποκλίνει.

Μπορούμε να συγκρίνουμε αυτή τη λειτουργία #b_n = 1 / k ^ 2 #. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό επειδή γνωρίζουμε ότι συγκλίνει (λόγω του p-test).

Από τότε # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, και # 1 / k ^ 2 # συγκρίνει, μπορούμε να πούμε ότι το σειρά συγκλίνει

Αλλά, περιμένετε, αποδείξαμε μόνο ότι η σειρά αυτή συγκλίνει όταν ο αριθμητής = 1. Τι γίνεται με όλες τις άλλες τιμές #cos (1 / k) # θα μπορούσε να λάβει? Λοιπόν, θυμηθείτε ότι το 1 είναι το το μέγιστο αξία που μπορεί να πάρει ο αριθμητής. Έτσι, αφού έχουμε αποδείξει ότι αυτό συγκλίνει, έχουμε δείξει έμμεσα ότι η σειρά αυτή έχει συγκλίνει για οποιαδήποτε τιμή στον αριθμητή.

Ελπίδα ότι βοήθησε:)

Η δεδομένη μήτρα είναι αντιστρέψιμη; πρώτη σειρά (-1 0 0) δεύτερη σειρά (0 2 0) τρίτη σειρά (0 0 1/3)

Ναι είναι επειδή ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας δεν είναι ίσος με το μηδέν, το Matrix είναι αντιστρέψιμο. Στην πραγματικότητα ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας είναι det (A) = (- 1) (2) (1/3) = - 2/3

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σύγκλισης, πώς αποδεικνύετε ότι η ακολουθία {5+ (1 / n)} συγκλίνει από το n = 1 στο άπειρο;

Έστω: a_n = 5 + 1 / n τότε για οποιοδήποτε m, n σε NN με n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / α = n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) (a_m-a_n) = 1 / m-1 / n και ως 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Έχοντας κάθε πραγματικό αριθμό epsilon> 0, τότε επιλέγουμε έναν ακέραιο N> 1 / epsilon. Για κάθε ακέραιο m, n> N έχουμε: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon που αποδεικνύει την προϋπόθεση του Cauchy για τη σύγκλιση μιας ακολουθίας.

Ποιες είναι οι τιμές του r (με r> 0) για τις οποίες η σειρά συγκλίνει;

R <1 / e είναι η προϋπόθεση για τη σύγκλιση του sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) Θα απαντήσω απλώς στο τμήμα σχετικά με τη σύγκλιση, το πρώτο μέρος του οποίου απαντήθηκε στα σχόλια. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε r ^ ln (n) = n ^ ln (r) για να ξαναγράψουμε το άθροισμα sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) Το σύνολο στα δεξιά είναι η μορφή της σειράς για την περίφημη λειτουργία του Riemann Zeta. Είναι γνωστό ότι η σειρά αυτή συγκλίνει όταν p> 1. Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα δίνει άμεσα -l (r)> 1 υποδηλώνει ότι το ln (r) <- 1 υποδηλώνει r <e ^ -1 = 1 / e Το αποτέλεσμα σχετικά με τις λειτουργίες του Riemann Zeta είναι πολ