Εύρεση (i) TanAtanB, (ii) μαύρισμα (Α + Β), (iii) αμαρτία ((Α + Β) / 2)

Απάντηση:

Αυτά είναι σωστά, εκτός (ii) είναι ανεστραμμένη. #tan (Α + Β) # πρέπει να είναι #4/3# όπως και #sin (Α + Β) = 4/5 # και #cos (Α + Β) = 3/5 #.

Εξήγηση:

Διασκεδαστικο. Δεδομένος #cos (A + B) = 3/5 quad και τετράγωνο cos A cos cos B = 7/10 #

Ας αναθεωρήσουμε τις σχετικές ταυτότητες.

# cos (A + B) = cos A cos β - αμαρτία Α αμαρτία B #

#sin Α αμαρτία B = cos A cos cos B -cos (A + B) = 7/10 - 3/5 = 1/10 #

# tanA tan B = {sin A sin B} / {cos A cos B} = {1/10} / {7/10} = 1/7 quad # επιλογή (i)

# cos ^ 2 (Α + Β) + sin ^ 2 (Α + Β) = 1 #

#sin (Α + Β) = pm sqrt {1- (3/5) ^ 2} =

#ΕΝΑ# και #ΣΙ# είναι οξεία, # Α + Β <180 ^ κυκλο # έτσι ένα θετικό ημίτονο:

#sin (Α + Β) = 4/5 #

# (Α + Β) = sin (Α + Β) / cos (Α + Β) = {4/5} / {3/5} = 4/3 quad # ΚΑΝΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ

Ένας τύπος διπλής γωνίας είναι #cos (2x) = 1-2 sin ^ 2 x # Έτσι

#sin (A + B) / 2) = pm sqrt {1/2 (1 - cos (A + B)

Ο μέσος όρος του #ΕΝΑ# και #ΣΙ# είναι οξύ, οπότε επιλέγουμε το θετικό σημάδι.

#sin ((A + B) / 2) = + sqrt {1/2 (1 - 3/5)) = 1 / sqrt { επιλογή (iii)

Ένα από τα τρία λάθος, Β-.

Απάντηση:

Ανατρέξτε στο Επεξήγηση.

Εξήγηση:

Δεδομένου ότι #cos (Α + Β) = 3/5 #.

#:. cosAcosB-sinAsinB = 3/5 #.

#:. 7/10-sinAsinB = 3/5 #.

#:. sinAsinB = 7 / 10-3 / 5 = 1/10 #.

#:. (sinAsinB) / (cosAcosB) = (1/10) / (7/10) #.

Ως εκ τούτου, # tanAtanB = 1/7 ………….. "Ans." (i) #.

Δεδομένου ότι, # 0 lt A lt pi / 2, 0 lt B lt pi / 2 #.

Προσθέτωντας, # 0 lt (Α + Β) lt pi #.

#:. (Α + Β) στο Q_1uuQ_2 #.

Αλλά, #cos (Α + Β) = 3/5 gt 0 #.

#:. (Α + Β) στο Q_1 #.

Τώρα, # sin ^ 2 (Α + Β) = 1-cos ^ 2 (Α + Β) = 1- (3/5).

#:. (Α + Β) = + - 4/5 "αλλά επειδή" (Α + Β) στο Q_1, #

# sin (Α + Β) = + 4/5 #.

(Α + Β) / cos (A + B) = (4/5) / (3/5) = 4/3 … "Ans." ii) #.

Τέλος, για να βρούμε #sin ((A + B) / 2), "ας", (A + B) / 2 = theta.#

#:. cos (Α + Β) = cos2theta = 3/5 #.

# "Τώρα," cos2theta = 3/5 rArr cos (theta + theta) = 3/5 #.

#:. costhetacostheta-sinthetasintheta = 3/5 … επειδή, "Formula Προσθήκης" #

#:. cos ^ 2theta-sin ^ 2theta = 3/5, δηλαδή #

# (1-sin ^ 2theta) -sin ^ 2theta = 3/5 ή #

# 1-2sin ^ 2theta = 3/5 rArr sin ^ 2theta = 1/2 (1-3 / 5) = 1/5 #.

#:. sintheta = + - 1 / sqrt5 #

Από, # (Α + Β) = 2theta # έγκειται στην # Q_1, "το ίδιο ισχύει" theta = (A + B) / 2 #.

#:. sintheta = sin ((Α + Β) / 2) = + 1 / sqrt5 = + sqrt5 / 5 …… "Ans." (iii).