Είναι πραγματικός αριθμός sqrt21, λογικός αριθμός, ακέραιος αριθμός, ακέραιος αριθμός, λανθασμένος αριθμός;

Απάντηση:

Είναι ένας παράλογος αριθμός και ως εκ τούτου πραγματικός.

Εξήγηση:

Ας το αποδείξουμε πρώτα #sqrt (21) # είναι ένας πραγματικός αριθμός, στην πραγματικότητα, η τετραγωνική ρίζα όλων των θετικών πραγματικών αριθμών είναι πραγματική. Αν #Χ# είναι ένας πραγματικός αριθμός, τότε ορίζουμε για τους θετικούς αριθμούς #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Αυτό σημαίνει ότι βλέπουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς # y # έτσι ώστε # y ^ 2 <= x # και να πάρει το μικρότερο πραγματικό αριθμό που είναι μεγαλύτερο από όλα αυτά # y #'s, το λεγόμενο supremum. Για αρνητικούς αριθμούς, αυτά # y #δεν υπάρχουν, αφού για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, η λήψη του τετραγώνου αυτού του αριθμού έχει θετικό αριθμό και όλοι οι θετικοί αριθμοί είναι μεγαλύτεροι από τους αρνητικούς αριθμούς.

Για όλους τους θετικούς αριθμούς, υπάρχουν πάντα μερικοί # y # που ταιριάζει με την κατάσταση # y ^ 2 <= x #, και συγκεκριμένα #0#. Επιπλέον, υπάρχει ένας ανώτερος δεσμός σε αυτούς τους αριθμούς, δηλαδή # x + 1 #, εφόσον αν # 0 <= y <1 #, έπειτα # x + 1> y #, αν # y> = 1 #, έπειτα # y <= y ^ 2 <= x #, Έτσι # x + 1> y #. Μπορούμε να δείξουμε ότι για κάθε οριοθετημένο μη άδειο σύνολο πραγματικών αριθμών, υπάρχει πάντα ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός που λειτουργεί ως supremum, λόγω της αποκαλούμενης πληρότητας # RR #. Έτσι για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς #Χ# υπάρχει πραγματικό #sqrt (x) #. Μπορούμε επίσης να δείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση #sqrt (x) ^ 2 = x #, αλλά αν δεν το θέλεις, δεν θα το αποδείξω εδώ. Τέλος σημειώνουμε αυτό #sqrt (x)> = 0 #, Από #0# είναι ένας αριθμός που ταιριάζει με την κατάσταση, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως.

Τώρα για το παραλογισμό του #sqrt (21) #. Εάν δεν ήταν παράλογο (τόσο λογικό), θα μπορούσαμε να το γράψουμε ως #sqrt (21) = α / β # με #ένα# και #σι# ολόκληροι αριθμοί και # a / b # όσο το δυνατόν περισσότερο, κάτι που σημαίνει ότι #ένα# και #σι# δεν έχουν κοινό διαχωριστή, εκτός από #1#. Αυτό σημαίνει αυτό # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Τώρα χρησιμοποιούμε κάτι που ονομάζεται πρωταρχική παραγοντοποίηση των φυσικών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να καταγράψουμε κάθε θετικό ακέραιο αριθμό ως ένα μοναδικό προϊόν με πρωταρχικούς αριθμούς. Για #21# αυτό είναι #3*7# και για #ένα# και #σι# αυτό είναι κάποιο αυθαίρετο προϊόν των πρώτων # a = a_1 * … * a_n # και # b = b_1 * … * b_m #. Το γεγονός ότι ο μόνος κοινός διαιρέτης του #ένα# και #σι# είναι #1# είναι ισοδύναμο με το γεγονός ότι #ένα# και #σι# δεν μοιράζονται πριμοδότηση στην παραγοντοποίηση τους, έτσι υπάρχουν #Όλα συμπεριλαμβάνονται# και # b_j # έτσι ώστε # a_i = b_j #. Αυτό σημαίνει ότι # a ^ 2 # και # b ^ 2 # επίσης, δεν μοιράζονται καμία πριμοδότηση, δεδομένου ότι # α ^ 2 = α_1 * α_1 * … * a_n * a_n # και # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., ως εκ τούτου ο μόνος κοινός διαιρέτης του # a ^ 2 # και # b ^ 2 # είναι #1#. Από # α ^ 2 = 21b ^ 2 #, αυτό σημαίνει # b ^ 2 = 1 #, Έτσι # b = 1 #. Επομένως #sqrt (21) = α #. Σημειώστε ότι αυτό ισχύει μόνο υπό την προϋπόθεση ότι #sqrt (21) # είναι λογικό.

Τώρα θα μπορούσαμε φυσικά να περάσουμε από όλους τους θετικούς αριθμούς μικρότερες από #21# και ελέγξτε εάν το τετραγωνισμό τους δίνει #21#, αλλά αυτή είναι μια βαρετή μέθοδος. Για να το κάνουμε με έναν πιο ενδιαφέροντα τρόπο, γυρίζουμε πάλι στα πρωταρχικά μας. Ξέρουμε ότι # α ^ 2 = α_1 * α_1 * … * a_n * a_n # και #21=3*7#, Έτσι # 3 * 7 = α_1 * α_1 * … * a_n * a_n #. Στην αριστερή πλευρά, κάθε πρόχειρο εμφανίζεται μόνο μία φορά, στο δεξί χέρι, κάθε κούμπωμα εμφανίζεται τουλάχιστον δύο φορές και πάντοτε ομοιόμορφα (εάν # a_1 = a_n # θα έπρεπε να συμβεί τουλάχιστον τέσσερις φορές). Αλλά όπως έχουμε δηλώσει, αυτοί οι πρωταρχικοί συντελεστές είναι μοναδικοί, οπότε αυτό δεν μπορεί να είναι σωστό. Επομένως # 21nea ^ 2 #, Έτσι #anesqrt (21) #, που σημαίνει ότι η προηγούμενη υπόθεση μας #sqrt (21) # οπότε είναι λογικό να αποδειχθεί ότι είναι λάθος #sqrt (21) # είναι παράλογο.

Σημειώστε ότι ισχύει το ίδιο επιχείρημα για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό #Χ# με ένα πρωταρχικό factorization, όπου ένα από τα αρχικά δημιουργεί ένα ανομοιογενές αριθμό φορές, αφού το τετράγωνο ενός ολόκληρου αριθμού έχει πάντοτε όλους τους πρωταρχικούς παράγοντες που εκπέμπουν ένα ίσο χρονικό διάστημα. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι αν #Χ# είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός (#x inNN #) έχει ένα πρωταρχικό παράγοντα που εμφανίζεται μόνο ένα άνισο ποσό φορές, #sqrt (x) # θα είναι παράλογο.

Γνωρίζω ότι αυτή η απόδειξη μπορεί να φαίνεται λίγο μακρά, αλλά χρησιμοποιεί σημαντικές έννοιες από τα μαθηματικά. Πιθανώς σε οποιοδήποτε πρόγραμμα σπουδών στο λύκειο, αυτά τα λογικά συμπεράσματα δεν περιλαμβάνονται (δεν είμαι 100% βέβαιος, δεν ξέρω το πρόγραμμα σπουδών του κάθε γυμνασίου στον κόσμο), αλλά για τους πραγματικούς μαθηματικούς, η απόδειξη είναι ένα από τα τις πιο σημαντικές δραστηριότητες που κάνουν. Ως εκ τούτου, ήθελα να σας δείξω ποια είναι τα μαθηματικά πίσω από τη λήψη της τετραγωνικής ρίζας των πραγμάτων. Αυτό που πρέπει να απομακρύνετε από αυτό, είναι πράγματι αυτό #sqrt (21) # είναι ένας παράλογος αριθμός.