Πώς να υπολογίσετε αυτό; int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Παράδειγμα

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

Δυστυχώς, η λειτουργία μέσα στο ολοκλήρωμα δεν θα ενσωματωθεί σε κάτι που δεν μπορεί να εκφραστεί με όρους στοιχειωδών λειτουργιών. Θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε αριθμητικές μεθόδους για να το κάνετε αυτό.

Μπορώ να σας δείξω πώς να χρησιμοποιήσετε μια επέκταση σειράς για να πάρετε ένα προσεγγιστική τιμή.

Ξεκινήστε με τη γεωμετρική σειρά:

(1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 = Για # rlt1 #

Τώρα ενσωματώστε σε σχέση με # r # και χρησιμοποιώντας τα όρια #0# και #Χ# για να πάρετε αυτό:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Ενσωμάτωση της αριστερής πλευράς:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _0 ^ x = -ln

Τώρα ενοποιήστε τη δεξιά πλευρά ενσωματώνοντας τον όρο από τον όρο:

1, 2, 3, 4, 4, 4, …,

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Επομένως, προκύπτει ότι:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4 /

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4 /

Τώρα διαιρέστε με #Χ#:

(1-χ) / χ = (- χ-χ ^ 2/2-χ ^ 3/3-χ ^ 4 /

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Έχουμε λοιπόν την έκφραση εξουσίας για τη λειτουργία που αρχίσαμε αρχικά. Τέλος, μπορούμε να ενσωματώσουμε ξανά για να πάρουμε:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^

Η ενσωμάτωση του δεξιού όρου από την πλευρά της πλευράς μας μας δίνει:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4 / 16- …

Η αξιολόγηση των ορίων σε τέσσερις όρους μας δίνει μια κατά προσέγγιση αξία:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0}

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Τώρα, αυτό είναι μόνο σε τέσσερις όρους. Εάν θέλετε έναν ακριβέστερο αριθμό, απλώς χρησιμοποιήστε περισσότερους όρους στη σειρά. Για παράδειγμα, πηγαίνετε στη 100η θητεία:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498#

Ως άκρη, αν εργάζεστε μέσω της ίδιας διαδικασίας, αλλά χρησιμοποιείτε τη συμβολική άθροιση (δηλ. Με μεγάλο σίγμα αντί να γράφετε τους όρους της σειράς), θα διαπιστώσετε ότι:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

που είναι μόνο η λειτουργία Riemann-Zeta του 2, δηλαδή:

(n-0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Γνωρίζουμε ήδη ότι η αξία του είναι: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Επομένως η ακριβής τιμή του ολοκλήρου μπορεί να συναχθεί ότι είναι:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #