Πώς να λύσετε 2 × exp (x) + 2x-7 = 0;

Απάντηση:

Μπορούμε να λύσουμε αυτό το ζήτημα γραφικά.

Εξήγηση:

Η δεδομένη εξίσωση # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # μπορεί να συνταχθεί ξανά ως

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Τώρα πάρτε αυτά τα δύο ως ξεχωριστές λειτουργίες

# f (x) = 2e ^ (x) # και # g (x) = 7-2x # και σχεδιάστε το γράφημά τους. δικα τους σημείο τομής θα είναι το λύση με τη δεδομένη εξίσωση # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Αυτό φαίνεται παρακάτω:

Απάντηση:

Αυτή η άλγεβρα πέρα από το γυμνάσιο και ο καλύτερος τρόπος για να το λύσεις είναι να ζητήσεις από τον Wolfram Alpha ποιος απαντά #x περίπου.94 #.

Εξήγηση:

Λύσει

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Ερωτήσεις όπως αυτό είναι γενικά σκληρά, και η απάντηση εξαρτάται αν είστε στην Αλγεβρα στο λύκειο ή βαθύτερα στη μαθηματική.

Για το γυμνάσιο, η καλύτερη προσέγγιση είναι να δοκιμάσετε μερικούς μικρούς αριθμούς και να δούμε αν λειτουργούν. (Αυτό λειτουργεί για πολλά, πολλά μαθηματικά προβλήματα γυμνασίου, fy.) Υπάρχει πραγματικά μόνο ένα λογικό #Χ# που κανει # e ^ x # λογικός, # x = 0 #, η οποία δεν αποτελεί λύση. Έτσι, η εικασία δεν πρόκειται να λειτουργήσει εδώ.

Αν μια προσέγγιση είναι αρκετά καλή, μπορούμε να γράψουμε ή να γράψουμε # 2e ^ x # και # 7-2x # και να δούμε πού συναντούν.

Όποιο και αν είναι το επίπεδό σας, όταν αντιμετωπίζετε ένα σκληρό, όπως αυτό, είναι συνήθως μια καλή κίνηση για να ρωτήσετε τον διαθέσιμο εμπειρογνώμονα, τον Wolfram Alpha.

Βλέπουμε ότι η Alpha μας έδωσε μια κατά προσέγγιση απάντηση, αρκετά κοντά στο 1, και ακόμη και μια φόρμουλα με W (x), την οποία το Lambert Product Log, το οποίο συνήθως δεν αποτελεί μέρος του μαθηματικού γυμνασίου.

Δεν υπάρχει καμία απάντηση χρησιμοποιώντας τις κανονικές λειτουργίες και τις λειτουργίες που γνωρίζουμε για τη σχολική άλγεβρα. Αυτό ισχύει γενικά όταν προσθέτουμε έναν όρο #Χ# σε έναν εκθέτη σε ένα όπου #Χ# εμφανίζεται ως γραμμική ή υψηλότερη ισχύς.

Αυτό είναι το τέλος της απάντησης για τους περισσότερους μαθητές. Αλλά μπορούμε να πάμε βαθύτερα. Το αρχείο καταγραφής προϊόντων είναι μια ενδιαφέρουσα λειτουργία.Εξετάστε την εξίσωση

#k = xe ^ x #

Στη δεξιά πλευρά είναι μια αυξανόμενη λειτουργία του #Χ#, έτσι θα περάσει #κ# αργά ή γρήγορα. Λαμβάνοντας το ημερολόγιο δεν μας πάει πουθενά: #ln k = ln x + x #.

Χρειαζόμαστε κάτι σαν ένα αρχείο καταγραφής, αλλά όχι ένα αντίστροφο # e ^ x #. Πρέπει να είναι το αντίστροφο του # xe ^ x #. Αυτό ονομάζεται το αρχείο καταγραφής προϊόντος ή η λειτουργία Lambert W, που ορίζεται ως:

#k = xe ^ x # έχει πραγματική λύση # x = W (k) #.

Θα περιορίσουμε την προσοχή μας στους πραγματικούς. Είναι διασκεδαστικό να προσπαθήσετε να ανακαλύψετε # W '#s. Το βασικό που μας δίνεται είναι

# W (xe ^ x) = x #

Ας αφήσουμε # x = ye ^ y # στην ακόλουθη περίπτωση # W (x) = y #. Τώρα

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Αυτό είναι δροσερό. Τι λέτε για

(x) = e (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)

Λαμβάνοντας κούτσουρα, # W (x) = ln χ - ln W (Χ) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # αν υποτεθεί ότι έχουν οριστεί κορμοί

Τώρα που βλέπετε πώς λειτουργεί με το W, δείτε αν μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε για να λύσετε την εξίσωση ή να ελέγξετε τη λύση του Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #