Σε ποια διαστήματα η ακόλουθη εξίσωση είναι κοίλη προς τα πάνω, κοίλη προς τα κάτω και όπου το σημείο καμπής είναι (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x));

Απάντηση:

• αν # 0 <x <e ^ (- 15/56) # έπειτα #φά# είναι κοίλα προς τα κάτω;
• αν # x> e ^ (- 15/56) # έπειτα #φά# είναι κοίλη προς τα πάνω;
• # x = e ^ (- 15/56) # είναι ένα (πτώση) σημείου καμπής

Εξήγηση:

Για την ανάλυση των σημείων κοίλωσης και καμπής μιας διπλής διαφοροποίησης λειτουργίας #φά#, μπορούμε να μελετήσουμε τη θετικότητα του δεύτερου παραγώγου. Στην πραγματικότητα, αν # x_0 # είναι ένα σημείο στον τομέα του #φά#, έπειτα:

• αν # f '' (x_0)> 0 #, έπειτα #φά# είναι κοίλη προς τα πάνω σε μια γειτονιά του # x_0 #;
• αν # f '' (x_0) <0 #, έπειτα #φά# είναι κοίλα προς τα κάτω σε μια γειτονιά του # x_0 #;
• αν # f '' (x_0) = 0 # και το σημάδι του #φά''# σε μια αρκετά μικρή γειτονιά του # x_0 # είναι απέναντι από το σημάδι του #φά''# σε αρκετά μικρή αριστερή γειτονιά # x_0 #, έπειτα # x = x_0 # ονομάζεται σημείο καμπής του #φά#.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση # f (x) = x ^ ln (x) #, έχουμε μια λειτουργία της οποίας η επικράτεια πρέπει να περιορίζεται στα θετικά ρεαλιστικά #RR ^ + #.

Το πρώτο παράγωγο είναι

(x) = x (x) = x (x) = (x)

Το δεύτερο παράγωγο είναι

(x) = (x) = x (x) + (x) + (x)

Ας μελετήσουμε τη θετικότητα του # f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56in (x) + 15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη ότι ο τομέας είναι #RR ^ + #, το παίρνουμε

• αν # 0 <x <e ^ (- 15/56) # έπειτα # f '' (x) <0 # και #φά# είναι κοίλα προς τα κάτω;
• αν # x> e ^ (- 15/56) # έπειτα # f '' (x)> 0 # και #φά# είναι κοίλη προς τα πάνω;
• αν # x = e ^ (- 15/56) # έπειτα # f '' (x) = 0 #. Λαμβάνοντας υπόψη ότι στα αριστερά του σημείου αυτού #φά''# είναι αρνητική και στα δεξιά είναι θετική, καταλήγουμε στο συμπέρασμα αυτό # x = e ^ (- 15/56) # είναι ένα (πτώση) σημείου καμπής