Πώς βρίσκετε την περιοχή που οριοθετείται από τις καμπύλες y = -4sin (x) και y = sin (2x) στο κλειστό διάστημα από 0 έως pi;

Απάντηση:

Αξιολογώ

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Περιοχή είναι: #8#

Εξήγηση:

Η περιοχή μεταξύ δύο συνεχών λειτουργιών # f (x) # και # g (x) # πάνω από # x στο a, b # είναι:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Επομένως, πρέπει να βρούμε πότε # f (x)> g (x) #

Αφήστε τις καμπύλες να είναι οι λειτουργίες:

# f (x) = - 4sin (x) #

# g (x) = αμαρτία (2x) #

# f (x)> g (x) #

# -4in (x)> αμαρτία (2x) #

Γνωρίζοντας ότι #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# Xin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Διαίρεση από #2# η οποία είναι θετική:

# 2 (x)> sin (x) cos (x) #

Διαίρεση από # sinx # χωρίς αναστροφή του σημείου, από τότε #sinx> 0 # για κάθε # x σε (0, π) #

# -2> cos (x) #

Αυτό είναι αδύνατο, δεδομένου ότι:

# -1 <cos (x) <= 1 #

Έτσι, η αρχική δήλωση δεν μπορεί να είναι αλήθεια. Επομένως, # f (x) <= g (x) # για κάθε # x στο 0, π #

Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# 1/2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x)

# 1/2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#