Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει να καταλάβω αυτή την εξίσωση; (γράφοντας μια πολική εξίσωση μιας κωνικής)

Απάντηση:

#r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Εξήγηση:

Μια κωνική με εκκεντρικότητα # e = 4/5 # είναι μια έλλειψη.

Για κάθε σημείο της καμπύλης η απόσταση από το εστιακό σημείο σε απόσταση από την κατευθυντήρια γραμμή είναι # e = 4 / 5. #

Εστίαση στον πόλο; Ποιο πόλο; Ας υποθέσουμε ότι ο ερωτώμενος σημαίνει εστίαση στην προέλευση.

Ας γενικεύσουμε την εκκεντρότητα στο #μι# και το directrix στο # x = k #.

Η απόσταση ενός σημείου # (x, y) # στην έλλειψη στο επίκεντρο είναι

# sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

Η απόσταση από το directrix # x = k # είναι # | x-k | #.

# e = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} / | x-k | #

# e ^ 2 = {x ^ 2 + y ^ 2} / (x-k) ^ 2 #

Αυτή είναι η έλλειψη μας, δεν υπάρχει κανένας ιδιαίτερος λόγος για να την χρησιμοποιήσουμε σε τυποποιημένη μορφή.

Ας το κάνουμε πολικό, # r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 # και # x = r cos theta #

# e ^ 2 = r ^ 2 / (rc cost-k) ^ 2 #

# e ^ 2 (r cos cos την θεία - k) ^ 2 = r ^ 2 #

# (e r cos theta - e k) ^ 2 - r ^ 2 = 0 #

# (r e cos theta + r - ek) (r e cos theta - r - ek) = 0 #

# r = {ek} / {e cos theta + 1} ή r = {ek} / {e cos theta - 1} #

Βγάζουμε τη δεύτερη φόρμα επειδή δεν είχαμε αρνητικά ποτέ # r #.

Έτσι, η πολική μορφή για μια ελλειπτική με εκκεντρικότητα #μι# και directrix # x = k # είναι

#r = {ek} / {e cos theta + 1} #

Αυτό φαίνεται να είναι η μορφή από την οποία ξεκινήσατε.

Σύνδεση # e = 4/5, k = 3 #

#r = {12/5} / {4/5 cos theta + 1} #

Απλούστευση δίνει, #r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Δεν είναι τίποτα από τα παραπάνω.