Ποιο είναι το παράγωγο του x ^ n;

Για τη λειτουργία # f (x) = x ^ n #, n πρέπει δεν ίσο με 0, για λόγους που θα γίνουν σαφείς. n θα πρέπει επίσης να είναι ένας ακέραιος ή ένας λογικός αριθμός (δηλ. ένα κλάσμα).

Ο κανόνας είναι:

(x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Με άλλα λόγια, "δανείζουμε" τη δύναμη του x και τον καθιστούμε τον συντελεστή του παραγώγου και στη συνέχεια αφαιρούμε 1 από την ισχύ.

# f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

# f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

(x) = x (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Όπως ανέφερα, η ειδική περίπτωση είναι όπου n = 0. Αυτό σημαίνει ότι

# f (x) = x ^ 0 = 1 #

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα μας και τεχνικά πάρτε τη σωστή απάντηση:

# f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Ωστόσο, αργότερα προς τα κάτω, θα αντιμετωπίσουμε επιπλοκές όταν προσπαθούμε να χρησιμοποιήσουμε το αντίστροφο αυτού του κανόνα.

Απάντηση:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Παρακάτω είναι οι αποδείξεις για κάθε αριθμό, αλλά μόνο η απόδειξη για όλους τους ακέραιους αριθμούς χρησιμοποιεί τη βασική δεξιότητα του ορισμού των παραγώγων. Η απόδειξη για όλες τις σκέψεις χρησιμοποιεί τον κανόνα της αλυσίδας και για τα παράλογα χρησιμοποιούν τη σιωπηρή διαφοροποίηση.

Εξήγηση:

Τούτου λεχθέντος, θα τους δείξω όλους εδώ, ώστε να κατανοήσετε τη διαδικασία. Προσοχή! #θα# να είναι αρκετά μεγάλη.

Από # y = x ^ (n) #, αν # n = 0 # έχουμε # y = 1 # και το παράγωγο μιας σταθεράς είναι πάντα μηδενικό.

Αν # n # είναι οποιοσδήποτε άλλος θετικός ακέραιος μπορούμε να το ρίξουμε στον παράγωγο τύπο και να χρησιμοποιήσουμε το διωνυμικό θεώρημα για να λύσουμε το χάος.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

(x) = x (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Οπου # K_i # είναι η κατάλληλη σταθερά

# i = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i)

Διαχωρίζοντας αυτό # h #

# i = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1)

Μπορούμε να πάρουμε την πρώτη θητεία από το ποσό

(n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1)

Λαμβάνοντας το όριο, όλα τα υπόλοιπα του ποσού φτάνουν στο μηδέν. Υπολογιστικός # K_1 # βλέπουμε ότι είναι ίση # n #, Έτσι

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Για # n # που είναι αρνητικοί ακέραιοι είναι λίγο πιο περίπλοκο. Γνωρίζοντας ότι # x ^ -n = 1 / x ^ b #, έτσι ώστε #b = -n # και ως εκ τούτου είναι θετική.

# y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (χ + η) ^ b - 1 / x ^

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b)

(x) = x (b) x (b) x (x) x (b))) #

(i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Βγάλτε τον πρώτο όρο

(x-h) (x-h) (x-h) (x-h) ^ b)) #

Πάρτε το όριο, Πού # K_1 = b #, αντικαθιστώντας το πίσω # n #

(b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ # #

Για λογικούς λόγους πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα της αλυσίδας. Δηλαδή: (f (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Έτσι, γνωρίζοντας αυτό # x ^ (1 / n) = ρίζα (n) (x) # και υποθέτοντας # n = 1 / b # έχουμε

# (x ^ n) ^ b = x #

Αν #σι# είναι ακόμη, η απάντηση είναι τεχνικά # | x | # αλλά αυτό είναι αρκετά κοντά για τους σκοπούς μας

Έτσι, χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας που έχουμε

(nx-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n-1)

Και τέλος, χρησιμοποιώντας τη σιωπηρή διαφοροποίηση μπορούμε να αποδείξουμε για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, συμπεριλαμβανομένων των παράλογων.

# y = x ^ n #

# n (y) = n * ln (x) #

# y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #