Πώς μπορείτε να απλοποιήσετε το 2cos ^ 2 (4Θ) -1 χρησιμοποιώντας έναν τύπο διπλής γωνίας;

Απάντηση:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Εξήγηση:

Υπάρχουν αρκετοί τύποι διπλών γωνιών για το συνημίτονο. Συνήθως το προτιμώμενο είναι αυτό που μετατρέπει ένα συνημίτονο σε άλλο συνημίτονο:

# cos cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Μπορούμε να αντιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα σε δύο κατευθύνσεις. Ο απλούστερος τρόπος είναι να πούμε # x = 4 theta # έτσι παίρνουμε

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

πράγμα που είναι αρκετά απλοποιημένο.

Ο συνηθισμένος τρόπος για να πάει είναι να πάρει αυτό από την άποψη της # cos theta #. Αρχίζουμε αφήνοντας # x = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

= 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 ^ theta -1) ^ 2-1) ^ 2-1 #

= Cos θ ^ θ = 256 cos ^ 6 θήτα + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Αν θέσουμε # x = cos theta # θα έχουμε το όγδοο πολυώνυμο Chebyshev του πρώτου είδους, # Τ_8 (χ) #, ικανοποιώντας

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Υποθέτω ότι ο πρώτος τρόπος ήταν πιθανώς αυτό που ακολουθούν.