Απάντηση:
Ήδη απαντήσατε εδώ.
Εξήγηση:
Θα πρέπει πρώτα να βρείτε # sin18 ^ @ #, για τα οποία υπάρχουν διαθέσιμα στοιχεία εδώ.
Τότε μπορείτε να πάρετε # cos36 ^ @ # όπως φαίνεται εδώ.
Απάντηση:
Λύπουμε #cos (2 theta) = cos (3 theta) # ή # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # Για # x = cos 144 ^ circ # και παρε #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Εξήγηση:
Παίρνουμε #cos 36 ^ circ # ήπια έμμεσα από τον τύπο διπλής και τριπλής γωνίας για το συνημίτονο. Είναι πολύ δροσερό πώς έχει γίνει, και έχει μια έκπληξη που τελειώνει.
Θα επικεντρωθούμε #cos 72 ^ circ #. Η γωνία # theta = 72 ^ circ # ικανοποιεί
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
Ας λύσουμε αυτό για #θήτα#, υπενθυμίζοντας #cos x = cos a # έχει λύσεις # x = pm α + 360 ^ cirk k. #
# 2 theta = μm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # ή # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ cir k #
Αυτό περιλαμβάνει το # 360 ^ circ k # έτσι μπορούμε να αποθέσουμε το τμήμα "ή".
Δεν γράφω ένα μυστήριο εδώ (παρά το τέλος της έκπληξης), γι 'αυτό θα το αναφέρω #cos (2 (72 ^ cir)) = cos (144 ^ circ) = cos (36 ^ circ) είναι επίσης μια έγκυρη λύση και βλέπουμε πώς σχετίζεται με την ερώτηση.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Τώρα αφήστε # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 - 1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Ξέρουμε # x = cos (0 φορές 72 ^ circ) = 1 # είναι μια λύση έτσι # (x-1) # είναι ένας παράγοντας:
# (x - 1) (4x ^ 2 + 2x1) = 0 #
Το τετραγωνικό έχει ρίζες
# x = 1/4 (-1 μm sqrt {5}) #
Ο θετικός πρέπει να είναι #cos 72 ^ circ # και το αρνητικό #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ κύκλος = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ cirr - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}
Αυτή είναι η απάντηση. Η έκπληξη είναι ότι είναι το ήμισυ του Golden Ratio!
