Πώς βρίσκετε την ακριβή τιμή του cos58 χρησιμοποιώντας το άθροισμα και τη διαφορά, τους τύπους διπλής γωνίας ή τη μισή γωνία;

Πώς βρίσκετε την ακριβή τιμή του cos58 χρησιμοποιώντας το άθροισμα και τη διαφορά, τους τύπους διπλής γωνίας ή τη μισή γωνία;
Anonim

Απάντηση:

Είναι ακριβώς μια από τις ρίζες του # Τ_ {44} (χ) = -Τ_ {46} (χ) # όπου # T_n (x) # είναι το # n #th Chenyshev Πολυώνυμο του πρώτου είδους. Αυτή είναι μία από τις σαράντα έξι ρίζες:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ + 155848 χ ^ 4 - 968 χ ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1)

Εξήγηση:

# 58 ^ circ # δεν είναι πολλαπλάσιο του # 3 ^ circ #. Πολλαπλάσια του # 1 ^ circ # που δεν είναι πολλαπλάσια του # 3 ^ circ # δεν μπορούν να κατασκευαστούν με straightedge και πυξίδα και οι trig λειτουργίες τους δεν είναι αποτέλεσμα κάποιας σύνθεσης αριθμών που χρησιμοποιούν προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση και τετραγωνική ριζοβολία.

Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν μπορούμε να γράψουμε κάποια έκφραση #cos 58 ^ circ #. Ας πάρουμε το σημάδι πτυχίου να σημαίνει έναν παράγοντα # {2pi} / 360 #.

# e ^ {θ 58 ^ κυκλο} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #

#e ^ {- θ 58 ^ κύκλος} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #

# e ^ {θ 58 ^ κυκλο} + e ^ {- θ 58 ^ κυκλο} = 2 cos 58 ^ circ #

#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {58 ^ circ} + e ^ {- 58 ^ circ}) #

Δεν είναι χρήσιμο.

Μπορούμε να προσπαθήσουμε να γράψουμε μια πολυώνυμη εξίσωση μία από τις ρίζες της οποίας είναι #cos 58 ^ circ # αλλά πιθανότατα θα είναι πολύ μεγάλο για να ταιριάζει.

# theta = 2 ^ circ # είναι #180#ένα κύκλο. Από #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # αυτό σημαίνει #cos 2 ^ circ # ικανοποιεί

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

#cos (180 ^ circ-44 theta) = cos (46 theta) #

Ας λύσουμε αυτό το θέμα #θήτα# πρώτα. #cos x = cos a # έχει ρίζες # x = pm a + 360 ^ cirk k, # ακέραιος αριθμός #κ#.

# 180 ^ κύκλος -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #

# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

#theta = 2 ^ κύκλος + 4 ^ κύκλος k ή θήτα = 90 ^ κύκλος + 180 ^ κύκλος k #

Αυτές είναι πολλές ρίζες και βλέπουμε # theta = 58 ^ circ # ανάμεσα τους.

Τα πολυώνυμα # T_n (x) #, που ονομάζονται Πολυμερή Chebyshev του πρώτου είδους, ικανοποιούν #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Έχουν ακέραιους συντελεστές. Γνωρίζουμε τους πρώτους μερικούς από τους τύπους διπλής και τριπλής γωνίας:

#cos (0 theta) = 1 quad quad # Έτσι# quad quad T_0 (x) = 1 #

#cos (1 theta) = cos theta quad quad # Έτσι# quad quad T_1 (x) = x #

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # Έτσι # quad quad Τ_2 (χ) = 2χ ^ 2-1 #

#cos (3 θήτα) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # Έτσι # quad quad Τ_3 (χ) = 4χ ^ 4-3χ #

Υπάρχει μια ωραία σχέση επανάκλησης που μπορούμε να επαληθεύσουμε:

(X) = T_ {n-1} (x) # T_ {n + 1} (x)

Έτσι θεωρητικά μπορούμε να τις παράγουμε για τόσο μεγάλες # n # όπως μας ενδιαφέρει.

Αν αφήσαμε # x = cos theta, # την εξίσωση μας

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

γίνεται

# Τ_ {44} (χ) = -Τ_ {46} (χ) #

Ο Wolfram Alpha είναι στην ευχάριστη θέση να μας πει ποια είναι αυτά. Θα γράψω την εξίσωση μόνο για να δοκιμάσω την απόδοση μαθηματικών:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ + 155848 χ ^ 4 - 968 χ ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1)

Ναι, αυτή η απάντηση είναι μεγάλη, ευχαριστώ Socratic. Μια φορά, μια από τις ρίζες αυτού του πολυώνυμου 46ου βαθμού με ακέραιους συντελεστές είναι # cos 58 ^ circ #.

Η τιμή για το εισιτήριο παιδιού για το τσίρκο είναι 4,75 δολάρια μικρότερη από την τιμή του εισιτηρίου του ενήλικα. Εάν αντιπροσωπεύετε την τιμή για το εισιτήριο του παιδιού χρησιμοποιώντας τη μεταβλητή x, πώς θα γράψετε την αλγεβρική έκφραση για την τιμή του εισιτηρίου του ενήλικα;

Η τιμή για το εισιτήριο παιδιού για το τσίρκο είναι 4,75 δολάρια μικρότερη από την τιμή του εισιτηρίου του ενήλικα. Εάν αντιπροσωπεύετε την τιμή για το εισιτήριο του παιδιού χρησιμοποιώντας τη μεταβλητή x, πώς θα γράψετε την αλγεβρική έκφραση για την τιμή του εισιτηρίου του ενήλικα;

Το εισιτήριο των ενηλίκων κοστίζει $ x + $ 4.75 Οι εκφράσεις πάντοτε φαίνονται πιο περίπλοκες όταν χρησιμοποιούνται μεταβλητές ή μεγάλοι ή παράξενοι αριθμοί. Ας χρησιμοποιήσουμε ευκολότερες τιμές ως παράδειγμα για να ξεκινήσετε με ... Η τιμή του εισιτηρίου ενός παιδιού είναι χρώματος (κόκκινο) ($ 2) μικρότερη από το εισιτήριο ενός ενήλικα. Επομένως, το εισιτήριο του ενήλικα κοστίζει περισσότερο από ένα παιδί χρώμα (κόκκινο) ($ 2). Εάν η τιμή του εισιτηρίου ενός παιδιού είναι χρώματος (μπλε) ($ 5), τότε το εισιτήριο ενός ενήλικου κοστίζει το χρώμα (μπλε) ($ 5) χρώμα (κόκκινο) (+ $ 2) = $ 7 Τώρα κάνετε το ίδιο ξανά χρησιμοπο

Υπάρχουν 5 άτομα σε μια βιβλιοθήκη. Ο Ricky είναι 5 φορές η ηλικία του Mickey που είναι η μισή ηλικία της Laura. Ο Eddie είναι 30 ετών νεότερος από τη διπλάσια ηλικία της διπλής Laura και του Mickey. Ο Νταν είναι 79 ετών νεότερος από τον Ρίκι. Το άθροισμα των ηλικιών τους είναι 271. Η ηλικία του Dan;

Υπάρχουν 5 άτομα σε μια βιβλιοθήκη. Ο Ricky είναι 5 φορές η ηλικία του Mickey που είναι η μισή ηλικία της Laura. Ο Eddie είναι 30 ετών νεότερος από τη διπλάσια ηλικία της διπλής Laura και του Mickey. Ο Νταν είναι 79 ετών νεότερος από τον Ρίκι. Το άθροισμα των ηλικιών τους είναι 271. Η ηλικία του Dan;

Αυτό είναι ένα διασκεδαστικό πρόβλημα ταυτόχρονων εξισώσεων. Η λύση είναι ότι ο Dan είναι 21 ετών. Ας χρησιμοποιήσουμε το πρώτο γράμμα του ονόματος κάθε ατόμου ως προφορικό για να αναπαριστούμε την ηλικία του, οπότε ο Dan θα ήταν D ετών. Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο μπορούμε να μετατρέψουμε τις λέξεις σε εξισώσεις: ο Ricky είναι 5 φορές η ηλικία του Mickey που είναι η μισή εποχή της Laura. R = 5M (Εξίσωση 1) M = L / 2 (Εξίσωση 2) Ο Eddie είναι 30 ετών νεότερος από τη διπλάσια ηλικία της διπλής Laura και της Mickey. E = 2 (L + M) -30 (Εξίσωση 3) Ο Dan είναι 79 ετών νεότερος από τον Ricky. D = R-79 (Εξίσωση 4) Το άθροισμα

Πώς βρίσκετε την ακριβή τιμή του cos 36 ^ @ χρησιμοποιώντας το άθροισμα και τη διαφορά, τους τύπους διπλής γωνίας ή τη μισή γωνία;

Πώς βρίσκετε την ακριβή τιμή του cos 36 ^ @ χρησιμοποιώντας το άθροισμα και τη διαφορά, τους τύπους διπλής γωνίας ή τη μισή γωνία;

Ήδη απαντήσατε εδώ. Θα χρειαστεί να βρείτε πρώτα το sin18 ^ @, για το οποίο υπάρχουν λεπτομέρειες εδώ. Στη συνέχεια μπορείτε να πάρετε cos36 ^ @ όπως φαίνεται εδώ.