Αν f (x) = x tan ^ -1 τότε το f (1) είναι τι;

Απάντηση:

# f (1) # όπου # f (x) = x arctan x #.

# f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Εξήγηση:

Θα υποθέσω ότι η ερώτηση είναι # f (1) # όπου # f (x) = x arctan x #.

# f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Κανονικά θα το έκανα # arctan # ως πολυεπίπεδη. Αλλά εδώ με τη ρητή σημείωση λειτουργίας # f (x) # Θα πω ότι θέλουμε την κύρια τιμή της αντίστροφης εφαπτομένης. Η γωνία με την εφαπτομένη 1 στο πρώτο τεταρτημόριο είναι # 45 ^ circ # ή # pi / 4 #:

# f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Αυτό είναι το τέλος. Αλλά ας θέσουμε το ερώτημα κατά μέρος και να επικεντρωθούμε σε αυτό #arctan t # πραγματικά σημαίνει.

Σκέφτομαι συνήθως # t ^ ^ (t) # ή ισοδύναμα (και νομίζω ότι η καλύτερη συμβολαιογραφία) #arctan (t) # σαν πολυαναμενόμενη έκφραση. Το "function" arctan δεν είναι πραγματικά μια συνάρτηση, γιατί είναι το αντίστροφο ενός πράγματος περιοδικού, το οποίο δεν μπορεί πραγματικά να έχει ένα αντίστροφο σε ολόκληρο τον τομέα του.

Αυτό προκαλεί σύγχυση στους φοιτητές και τους εκπαιδευτικούς. Ξαφνικά έχουμε πράγματα που μοιάζουν με λειτουργίες που δεν είναι πραγματικά λειτουργίες. Έχουν εισέλθει κάπως κάτω από το ραντάρ. Απαιτούνται νέοι κανόνες για την αντιμετώπισή τους, αλλά δεν αναφέρονται ρητά ποτέ. Το μάθημα αρχίζει να είναι ασαφές όταν δεν πρέπει.

# x = arctan t # θεωρείται καλύτερα ως λύσεις # t x = t. # Υπάρχει ένας απαράμιλλος αριθμός από αυτούς, ένας ανά περίοδο. Η εφαπτομένη έχει περίοδο #πι# έτσι οι λύσεις είναι #πι# εκτός, όπου είναι το #pi k # προέρχεται από, ακέραιο #κ#.

Συνήθως γράφω την κύρια αξία της αντίστροφης εφαπτομένης ως Arctan, με ένα κεφάλαιο Α. Δυστυχώς, ο Socratic το «διορθώνει». Θα το φουντώσω εδώ:

# t = tan x # έχει λύσεις

# x = arctan t = κείμενο {Arc} κείμενο {tan} (t) + pi k quad # για ακέραιο αριθμό #κ#.