Ποιο είναι το παράγωγο του y = (sinx) ^ x;

Απάντηση:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Εξήγηση:

Χρησιμοποιήστε λογαριθμική διαφοροποίηση.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Χρησιμοποιήστε ιδιότητες του # ln #)

Διαχωρίστε σιωπηρά: (Χρησιμοποιήστε τον κανόνα του προϊόντος και το αλυσίδα της αλυσίδας)

# 1 / y dy / dx = 1in (sinx) + χ 1 / sinx cosx #

Έτσι, έχουμε:

# 1 / y dy / dx = Ιη (sinx) + x cotx #

Επίλυση για # dy / dx # πολλαπλασιάζοντας με #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Απάντηση:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Εξήγηση:

Ο ευκολότερος τρόπος να δείτε αυτό χρησιμοποιεί:

# (sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xln (sinx)

Λαμβάνοντας το παράγωγο αυτού δίνει:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)

= (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

= (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Τώρα πρέπει να σημειώσουμε ότι αν # (sinx) ^ x = 0 #, # n ((sinx) ^ x) # είναι απροσδιόριστο.

Ωστόσο, όταν αναλύουμε τη συμπεριφορά της λειτουργίας γύρω από το #Χ#'s για το οποίο ισχύει αυτό, διαπιστώνουμε ότι η λειτουργία συμπεριφέρεται αρκετά καλά για να λειτουργήσει αυτό, γιατί, εάν:

# (sinx) ^ x # προσεγγίζει το 0

έπειτα:

# n ((sinx) ^ x) # θα προσεγγίσει # -oo #

Έτσι:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # θα προσεγγίσει και το 0

Επιπλέον, σημειώνουμε ότι αν #sinx <0 #, # n ((sinx) ^ x) # θα είναι ένας σύνθετος αριθμός. Ωστόσο, όλη η άλγεβρα και ο υπολογισμός που χρησιμοποιήσαμε δουλεύουν και στο σύνθετο αεροπλάνο, οπότε αυτό δεν είναι πρόβλημα.

Απάντηση:

Πιο γενικά…

Εξήγηση:

(x) f (x) g (x) = g (x) / f (x) ^ g (χ) #