Βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες οι ακόλουθες σειρές είναι συγκλίνουσες;

Απάντηση:

#1<>

Εξήγηση:

Όταν προσπαθείτε να προσδιορίσετε την ακτίνα ή / και το διάστημα σύγκλισης των σειρών ισχύος όπως αυτές, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε τη δοκιμή αναλογίας, η οποία μας λέει για μια σειρά # suma_n #, αφήσαμε

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Αν # L <1 # η σειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα (και συνεπώς συγκλίνουσα)

Αν # L> 1 #, η σειρά αποκλίνει.

Αν # L = 1, # η δοκιμή αναλογίας δεν είναι καταληκτική.

Ωστόσο, για τις Σειρές Ισχύος, είναι δυνατές τρεις περιπτώσεις

ένα. Η σειρά ισχύος συγκλίνει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. το διάστημα σύγκλισης του είναι # (- oo, oo) #

σι. Η σειρά ισχύος συγκλίνει για κάποιο αριθμό # x = α · # η ακτίνα σύγκλισης είναι μηδέν.

ντο. Η πιο συχνή περίπτωση, η σειρά ισχύος συγκλίνει για # | x-a |<> με ένα διάστημα σύγκλισης του # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Οπότε αν # | 2-3 | <1 #, η σειρά συγκλίνει. Αλλά χρειαζόμαστε αυτό με τη μορφή # | x-a |<>

# 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # έχει ως αποτέλεσμα τη σύγκλιση. Η ακτίνα σύγκλισης είναι # R = 1 / 2. #

Τώρα, ας προσδιορίσουμε το διάστημα:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Πρέπει να συνδέσουμε # x = 1, χ = 2 # στην αρχική σειρά για να δούμε εάν έχουμε σύγκλιση ή απόκλιση σε αυτά τα τελικά σημεία.

(n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) αποκλίνει, το summand δεν έχει όριο και σίγουρα δεν φτάνει στο μηδέν, αλλά εναλλάσσει σημεία.

(n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # αποκλίνει επίσης από τη δοκιμή αποκλίσεων, (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Επομένως, η σειρά συγκλίνει για #1<>

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη δοκιμασία αναλογίας που λέει ότι αν έχουμε μια σειρά

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

είναι σίγουρα συγκλίνουσα αν:

# n (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

Στην περίπτωσή μας, # a_n = (2x-3) ^ n #, έτσι ελέγχουμε το όριο:

(x-3) ακύρωση ((2χ-3)) (n-1)) n)) / ακύρωση ((2χ-3) n)) = = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Επομένως, πρέπει να ελέγξουμε πότε # | 2x-3 | # είναι λιγότερο από #1#:

Έκανα λάθος εδώ, αλλά η παραπάνω απάντηση έχει την ίδια μέθοδο και μια σωστή απάντηση, γι 'αυτό απλά ρίξτε μια ματιά σε αυτό.