Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός αντισυμβατικού και ενός αναπόσπαστου;

Δεν υπάρχουν διαφορές, οι δύο λέξεις είναι συνώνυμες.

Εξαρτάται από μερικά πράγματα. Ποιο αντίθετο, γενικό ή ιδιαίτερο; που είναι αναπόσπαστο οριστικό ή αόριστο; Και, ποιοι ζητάμε;

Γενικό Αντισταθμιστικό και Αόριστο Αόριστο:

Πολλοί μαθηματικοί δεν διακρίνουν το αόριστο ενιαίο και το γενικό αντισυμβατικό. Σε κάθε περίπτωση για λειτουργία #φά# η απάντηση είναι # F (x) + C # όπου # F '(x) = f (x) #..

Ορισμένοι (για παράδειγμα, συγγραφέας βιβλίων James Stewart) κάνουν μια διάκριση. Αυτό που ο Stewart αναφέρεται ως "το πιο γενικό" αντίθετο #φά#, αναγνωρίζει διαφορετικές σταθερές σε κάθε ασυνέχεια του #φά#. Για παράδειγμα, θα απαντούσε ότι ο γενικότερος παράγωγός του # 1 / x ^ 2 # είναι μια τμηματικά καθορισμένη λειτουργία:

# F (x) = (- 1) / x + C_1 # Για # x <0 # και # (- 1) / x + C_2 # Για # x> 0 #.

Το αόριστο σύμπλεγμα του #φά#, σε αυτή τη θεραπεία, είναι πάντα ένα αντιπεριστατικό σε κάποιο διάστημα κατά το οποίο #φά# είναι συνεχής.

Έτσι #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, όπου γίνεται κατανοητό ότι ο τομέας περιορίζεται σε κάποιο υποσύνολο είτε των θετικών reals είτε ενός υποσυνόλου των αρνητικών reals.

Ιδιαίτερα Αντισταθμιστικά

Ένα ιδιαίτερο αντίθετο αποτέλεσμα #φά# είναι μια λειτουργία #ΦΑ# (παρά μια οικογένεια λειτουργιών) για την οποία # F '(x) = f (x) #.

Για παράδειγμα:

# F (x) = (- 1) / x + 5 # Για # x <0 # και # (- 1) / χ + 1 # Για # x> 0 #.

είναι ένα ιδιαίτερο αντικαταθλιπτικό # f (x) = 1 / x ^ 2 #

Και:

# G (x) = (- 1) / x-3 # Για # x <0 # και # (- 1) / χ + 6 # Για # x> 0 #.

είναι ένα διαφορετικό ιδιαίτερο αντικαταθλιπτικό # f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Ορισμένα ολοκληρώματα

Το οριστικό ολοκλήρωμα του #φά# από #ένα# προς το #σι# δεν είναι μια λειτουργία. Είναι ένας αριθμός.

Για παράδειγμα:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Για να περιπλέξουμε περαιτέρω τα θέματα, αυτό το οριστικό ολοκλήρωμα μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα του Λογισμού, Μέρος 2, βάζοντας πρώτα την απεριόριστη αναπόσπαστη / γενική αντιπαραγωγική και στη συνέχεια κάνοντας κάποιααριθμητική.)

Η ερώτησή σας σχετίζεται με αυτό που ήταν πραγματικά η «βασική ιδέα» στην ανάπτυξη του λογισμικού από τον Isaac Newton και τον Gottfried Leibniz.

Εστιάζοντας σε λειτουργίες που δεν είναι ποτέ αρνητικές, αυτή η ιδέα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: "Μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα αντίδοτα εύρημα μπορούν να χρησιμοποιηθούν περιοχές (ολοκληρώματα) και περιοχές (ολοκληρώματα) καθορίζω αντικαταθλιπτικά. "Αυτή είναι η ουσία του Βασικού Θεωρήματος του Λογισμού.

Χωρίς να ανησυχεί για τα ποσά του Riemann (άλλωστε, ο Bernhard Riemann έζησε σχεδόν 200 χρόνια μετά τον Newton και τον Leibniz ούτως ή άλλως) και λαμβάνοντας την έννοια της περιοχής ως μια διαισθητική (απροσδιόριστη) έννοια, για μια συνεχή μη αρνητική λειτουργία # f (x) geq 0 # για όλα #Χ# με #a leq x leq β #, σκεφτείτε μόνο το καθορισμένο σύμβολο # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # ως αντιπροσωπεύοντας την περιοχή κάτω από το γράφημα της #φά# και πάνω από το #Χ#-αξία μεταξύ # x = a # και # x = b #. Αν άλλη λειτουργία #ΦΑ# μπορεί να βρεθεί έτσι # F '(x) = f (x) # για όλα #a leq x leq β #, έπειτα #ΦΑ# ονομάζεται αντικαταθλιπτικός #φά# κατά τη διάρκεια του διαστήματος # α, β # και τη διαφορά # F (b) -F (a) # ισούται με την τιμή του οριστικού ολοκλήρου. Αυτό είναι, (x) dx = F (b) -F (α) #. Αυτό το γεγονός είναι χρήσιμο για εύρεση η τιμή ενός καθορισμένου ενιαίου (περιοχής) όταν μπορεί να βρεθεί ένας τύπος για ένα αντίθετο.

Αντιστρόφως, αν κάνουμε το ανώτερο όριο του ενσωματωμένου συμβόλου μεταβλητή, καλέστε το # t #, και ορίστε μια συνάρτηση #ΦΑ# με τον τύπο (T) = int_ {α} ^ {t} f (x) dx # (Έτσι # F (t) # είναι πραγματικά η περιοχή κάτω από το γράφημα της #φά# μεταξύ # x = a # και # x = t #, υποθέτοντας #a leq t leq b #), τότε αυτή η νέα λειτουργία #ΦΑ# είναι σαφώς καθορισμένη, διαφοροποιήσιμη και # F '(t) = f (t) # για όλους τους αριθμούς # t # μεταξύ #ένα# και #σι#. Χρησιμοποιήσαμε ένα ενιαίο σύνολο καθορίζω ένα αντικαταθλιπτικό του #φά#. Αυτό το γεγονός είναι χρήσιμο για την προσέγγιση των αξιών ενός αντιπολλαπλασιαστικού παράγοντα όταν δεν μπορεί να βρεθεί κανένας τύπος (χρησιμοποιώντας μεθόδους αριθμητικής ενσωμάτωσης όπως ο κανόνας του Simpson). Για παράδειγμα, χρησιμοποιείται από τους στατιστικολόγους όλη την ώρα όταν προσεγγίζουν περιοχές κάτω από την κανονική καμπύλη. Οι τιμές ενός ειδικού αντικαταθλιπτικού της τυπικής κανονικής καμπύλης δίδονται συχνά σε έναν πίνακα στα στατιστικά βιβλία.

Στην περίπτωση όπου #φά# έχει αρνητικές τιμές, το οριστικό ολοκλήρωμα πρέπει να θεωρείται ως "υπογεγραμμένες περιοχές".