Ποιο είναι το παράγωγο της κούνιας ^ 2 (x);

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

# d / dx κούνια ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #

ΕΞΗΓΗΣΗ

Θα χρησιμοποιούσατε τον κανόνα της αλυσίδας για να λύσετε αυτό το πρόβλημα. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να καθορίσετε ποια είναι η λειτουργία "εξωτερική" και ποια είναι η συνάρτηση "εσωτερική" που συντίθεται στην εξωτερική λειτουργία.

Σε αυτήν την περίπτωση, #cot (x) # είναι η "εσωτερική" συνάρτηση που συντίθεται ως μέρος του # κούνια ^ 2 (x) #. Για να το κοιτάξουμε με άλλο τρόπο, ας υποδείξουμε # u = κούνια (x) # έτσι ώστε # u ^ 2 = κούνια ^ 2 (x) #. Παρατηρείτε πώς λειτουργεί η σύνθετη λειτουργία εδώ; Η "εξωτερική" λειτουργία του # u ^ 2 # τετράγωνα την εσωτερική λειτουργία του # u = κούνια (x) #. Η εξωτερική λειτουργία καθορίζει τι συνέβη με την εσωτερική λειτουργία.

Μην αφήνετε το # u # να σας συγχέουμε, είναι απλά να σας δείξουμε πώς μια συνάρτηση είναι ένα σύνθετο του άλλου. Δεν χρειάζεται καν να το χρησιμοποιήσετε. Μόλις καταλάβετε αυτό, μπορείτε να αντλήσετε.

Ο κανόνας της αλυσίδας είναι:

(F) (x) = f '(g (x)) (g' (x)) #

Ή, με λέξεις:

το παράγωγο της εξωτερικής λειτουργίας (με την εσωτερική λειτουργία να μένει μόνη!) φορές το παράγωγο της εσωτερικής λειτουργίας.

1) Το παράγωγο της εξωτερικής λειτουργίας # u ^ 2 = κούνια ^ 2 (x) # (με την εσωτερική λειτουργία αριστερά μόνο) είναι:

# d / dx u ^ 2 = 2u #

(Φεύγω από το # u # in για τώρα, αλλά μπορείτε να υποχωρήσετε στο # u = κούνια (x) # αν θέλετε, ενώ κάνετε τα βήματα. Θυμηθείτε ότι αυτά είναι μόνο βήματα, το πραγματικό παράγωγο της ερώτησης εμφανίζεται στο κάτω μέρος)

2) Το παράγωγο της εσωτερικής λειτουργίας:

# d / dx κούνια (x) = d / dx 1 / μαύρισμα (x) = d / dx sin (x) / cos (x)

Εμμένω! Πρέπει να κάνετε έναν κανόνα πηλίκο εδώ, εκτός αν έχετε απομνημονεύσει το παράγωγο του #cot (x) #

(x) / sin (x) = (sin = 2 (x) -cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x) / (sin ^ 2 (χ)) = -1 / (sin ^ 2 (χ)) = -csc ^ 2

Συνδυάζοντας τα δύο βήματα με πολλαπλασιασμό για να πάρετε το παράγωγο:

# d / dx κούνια ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #