Πώς βρίσκετε την κορυφή μιας τετραγωνικής εξίσωσης;

Απάντηση:

Χρησιμοποιήστε τον τύπο # -b / (2a) # για τη συντεταγμένη x και μετά συνδέστε το για να βρείτε το y.

Εξήγηση:

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι γραμμένη ως # ax ^ 2 + bx + c # σε τυποποιημένη μορφή. Και η κορυφή μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο # -b / (2a) #.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το πρόβλημά μας είναι να βρούμε την κορυφή (x, y) της τετραγωνικής εξίσωσης # x ^ 2 + 2x-3 #.

1) Αξιολογήστε τις τιμές a, b και c. Σε αυτό το παράδειγμα, a = 1, b = 2 και c = -3

2) Συνδέστε τις τιμές σας στον τύπο # -b / (2a) #. Για αυτό το παράδειγμα, θα πάρετε #-2/(2*1)# που μπορεί να απλουστευθεί στο -1.

3) Βρήκατε ακριβώς τη συντεταγμένη x της κορυφής σας! Τώρα συνδέστε -1 για το x στην εξίσωση για να βρείτε τη συντεταγμένη y.

4) # (-1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) Μετά την απλοποίηση της παραπάνω εξίσωσης λαμβάνετε: 1-2-3 που είναι ίσο με -4.

6) Η τελική απάντησή σας είναι (-1, -4)!

Ελπίζω ότι αυτό βοήθησε.

Απάντηση:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # έχει μια κορυφή στο # (- (b) / (2a), - (b ^ 2-4ac) / (4a)) #

Εξήγηση:

Εξετάστε μια γενική τετραγωνική έκφραση:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

και τη σχετική εξίσωση # f (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Με τις ρίζες, #άλφα# και #βήτα#.

Ξέρουμε (Με συμμετρία - Βλέπε παρακάτω για την απόδειξη) ότι η κορυφή (είτε μέγιστη ή ελάχιστη) είναι το μέσο της δύο ρίζας, η #Χ#-συντονισμός της κορυφής είναι:

# x_1 = (άλφα + βήτα) / 2 #

Ωστόσο, υπενθυμίστε τις καλά μελετημένες ιδιότητες:

#:: ("άθροισμα των ριζών", = alpha + beta, = -b / a), ("προϊόν των ριζών", =

Ετσι:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Δίνοντας μας:

(b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

(b) 2 / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# = (4ac - b ^ 2) / (4a)

# - - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)

Ετσι:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # έχει μια κορυφή στο # (- (b) / (2a), - (b ^ 2-4ac) / (4a)) #

Απόδειξη μέσου σημείου:

Αν το έχουμε

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Στη συνέχεια, διαφοροποιώντας wrt #Χ#:

# f '(x) = 2ax + b #

Σε ένα κρίσιμο σημείο, το πρώτο παράγωγο, # f '(x) # εξαφανίζεται, πράγμα που απαιτεί:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # QED