Αποδείξτε ότι οι καμπύλες x = y ^ 2 και xy = k κόβονται σε ορθές γωνίες αν 8k ^ 2 = 1?

Απάντηση:

#-1#

Εξήγηση:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

# x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

οι δύο καμπύλες είναι

# x = y ^ 2 #

και

# x = sqrt (1/8) / y ή x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

για την καμπύλη # x = y ^ 2 #, το παράγωγο σε σχέση με # y # είναι # 2y #.

για την καμπύλη # x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, το παράγωγο σε σχέση με # y # είναι # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

το σημείο στο οποίο συναντώνται οι δύο καμπύλες είναι πότε # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

# y = sqrt (1/2) #

Από # x = y ^ 2 #, # x = 1/2 #

το σημείο στο οποίο συναντώνται οι καμπύλες είναι # (1/2, sqrt (1/2)) #

πότε # y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

η κλίση της εφαπτομένης στην καμπύλη # x = y ^ 2 # είναι # 2sqrt (1/2) ή 2 / (sqrt2) #.

πότε # y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

η κλίση της εφαπτομένης στην καμπύλη #xy = sqrt (1/8) # είναι # -2sqrt (1/8) ή -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Επιδιώκουμε μια προϋπόθεση #κ# έτσι ώστε οι καμπύλες # x = y ^ 2 # και # xy = k # "κοπή σε ορθή γωνία". Μαθηματικά αυτό σημαίνει ότι οι καμπύλες πρέπει να είναι ορθογώνιες, που με τη σειρά τους σημαίνει ότι σε όλα τα σημεία οι εφαπτόμενες στις καμπύλες όποιος δεδομένο σημείο είναι κάθετο.

Αν εξετάσουμε την οικογένεια των καμπυλών για διάφορες αξίες #κ# παίρνουμε:

Σημειώνουμε αμέσως ότι ψάχνουμε για ένα μόνο σημείο όπου η εφαπτομένη είναι κάθετη, έτσι γενικά οι καμπύλες δεν είναι ορθογώνιες σε όλα τα σημεία.

Πρώτα ας βρούμε το μονόκλινο συντεταγμένη, #Π#, του σημείου τομής, που είναι η ταυτόχρονη λύση:

(x) = (x) = (x) x (x)

Αντικαθιστώντας το Eq A σε B παίρνουμε:

(y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = ρίζα (3)

Και έτσι δημιουργούμε τη συντεταγμένη τομής:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Χρειαζόμαστε επίσης τις κλίσεις των εφαπτομένων σε αυτή τη συντεταγμένη. Για την πρώτη καμπύλη:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Έτσι, η κλίση της εφαπτομένης, # m_1 #, στην πρώτη καμπύλη στο #Π# είναι:

(1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3)

Ομοίως, για τη δεύτερη καμπύλη:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Έτσι, η κλίση της εφαπτομένης, # m_2 #, στη δεύτερη καμπύλη στο #Π# είναι:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Αν αυτές οι δύο εφαπτομενικές είναι κάθετες τότε απαιτούμε ότι:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Προς το αποτέλεσμα:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

Και με αυτή την αξία #κ#