Ποιο είναι το παράγωγο του (x ^ 2 + x) ^ 2?

Απάντηση:

# y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

Εξήγηση:

Μπορείτε να διαφοροποιήσετε αυτή τη λειτουργία χρησιμοποιώντας το άθροισμα και κανόνες ισχύος. Παρατηρήστε ότι μπορείτε να ξαναγράψετε αυτή τη λειτουργία ως

(x + 2) x 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

#y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

Τώρα, ο κανόνας αθροίσματος σας λέει ότι για τις λειτουργίες που παίρνουν τη φόρμα

#y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

μπορείτε να βρείτε το παράγωγο του # y # προσθέτοντας τα παράγωγα αυτών των επιμέρους λειτουργιών.

#color (μπλε) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

Στην περίπτωσή σας, έχετε

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

(x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) #

(x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2) #

Για να διαφοροποιήσετε αυτά τα κλάσματα, χρησιμοποιήστε τον κανόνα ενέργειας

#color (μπλε) (d / dx (x ^ a) = ax ^ (a-1)) #

Έτσι, το παράγωγο σας θα βγει

(4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= χρώμα (πράσινο) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

Εναλλακτικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα της αλυσίδας για να διαφοροποιήσετε # y #.

(d) (d / dx (y) = d / (du) (y)

Στην περίπτωσή σας, έχετε # y = u ^ 2 # και # u = x ^ 2 + x #, έτσι ώστε να πάρετε

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 +

# dy / dx = 2u * (2χ + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2χ) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = χρώμα (πράσινο) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 +