Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του Θεωρήματος Ενδιάμεσης Αξίας και του Θεωρήματος της Αξίας Αξίας;

Απάντηση:

Το Θεώρημα Ενδιάμεσης Αξίας (IVT) αναφέρει λειτουργίες που είναι συνεχείς σε ένα διάστημα # α, β # πάρτε όλες τις (ενδιάμεσες) τιμές ανάμεσα στα άκρα τους. Το Θεώρημα της Εξαιρετικής Αξίας (EVT) λέει λειτουργίες που είναι συνεχείς # α, β # να επιτύχουν τις ακραίες τιμές τους (υψηλές και χαμηλές).

Εξήγηση:

Ακολουθεί μια δήλωση του EVT: Αφήστε #φά# να είναι συνεχής # α, β #. Έπειτα υπάρχουν αριθμοί # c, d στην a, b # έτσι ώστε #f (c) leq f (x) leq f (d) # για όλα # x στο a, b #. Δηλώνοντας με άλλο τρόπο, το "supremum" # M # και "infimum" # m # της εμβέλειας # {f (x): x στο a, b } # υπάρχουν (είναι πεπερασμένοι) και υπάρχουν αριθμοί # c, d στην a, b # έτσι ώστε #f (c) = m # και # f (d) = M #.

Σημειώστε ότι η λειτουργία #φά# πρέπει να είναι συνεχής # α, β # για το συμπέρασμα να κρατήσει. Για παράδειγμα, εάν #φά# είναι μια τέτοια λειτουργία # f (0) = 0,5 #, # f (x) = x # Για #0<>, και # f (1) = 0,5 #, έπειτα #φά# δεν έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή #0,1#. (Το υπέρτατο και το infimum της κλίμακας υπάρχουν (είναι 1 και 0 αντίστοιχα), αλλά η λειτουργία ποτέ δεν επιτυγχάνει (ποτέ δεν ισούται με) αυτές τις τιμές.)

Σημειώστε επίσης ότι το διάστημα πρέπει να κλείσει. Η λειτουργία # f (x) = x # δεν επιτυγχάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή στο ανοιχτό διάστημα #(0,1)#. (Για άλλη μια φορά, υπάρχουν το supremum και το infimum της κλίμακας (είναι 1 και 0, αντίστοιχα), αλλά η λειτουργία ποτέ δεν επιτυγχάνει (ποτέ δεν ισούται με) αυτές τις τιμές.)

Η λειτουργία # f (x) = 1 / x # Επίσης, δεν επιτυγχάνεται μέγιστη ή ελάχιστη τιμή στο ανοιχτό διάστημα #(0,1)#. Επιπλέον, το supremum του εύρους δεν υπάρχει καν ως πεπερασμένος αριθμός (είναι "άπειρο").

Ακολουθεί μια δήλωση του IVT: Let #φά# να είναι συνεχής # α, β # και υποθέστε # f (α)! = f (β) #. Αν # v # είναι οποιοσδήποτε αριθμός μεταξύ #φά)# και #f (b) #, τότε υπάρχει ένας αριθμός #c in (a, b) # έτσι ώστε # f (c) = v #. Επιπλέον, εάν # v # είναι ένας αριθμός μεταξύ του supremum και του infimum της περιοχής # {f (x): x στο a, b} #, τότε υπάρχει ένας αριθμός #c στο a, b # έτσι ώστε # f (c) = v #.

Εάν σχεδιάζετε εικόνες από διάφορες ασυνεχείς λειτουργίες, είναι αρκετά σαφές γιατί #φά# πρέπει να είναι συνεχής για να είναι αλήθεια η IVT.